Offene/Geschlossene Mengen

Question

Warum ist :

((x,y) : -1 < x < 1, y= 0)

keine offene Menge sondern weder offen noch geschlossen? es sind doch alle elemente zwischen -1 und 1 enthalten?

Warum ist :

(x,y): x,y integers)

eine geschlossene Menge? Hier ist doch kein limit point enthalten??

Answer 1

Warum ist :

((x,y) : -1 < x < 1, y= 0)

keine offene Menge sondern weder offen noch geschlossen? es sind doch alle elemente zwischen -1 und 1 enthalten?

Das spräche für offen. Aber y=0 bedeutet, es sind alle Paare  (x/0) und wenn du um so einen Punkt eine

eps-Umgebung legtst (offene Kreisscheibe), dann sind auch immer welche mit y ungleich Null dabei, deshalb

ist die Menge in IR^2 nicht offen.

und abgeschlossen wäre sie, wenn das Komplement offen ist. Das ist aber auch

nicht der Fall, da (1,0) aus dem Komplement ist, aber jede Kreisscheibe um (1,0) auch wieder

Elemente von M enthält.

Warum ist :

(x,y): x,y integers)

eine geschlossene Menge? Hier ist doch kein limit point enthalten??

aber das Komplement also IR^2 ohne die ganzzahligen Paare ist offen.

Comments

Danke. Geht es beim ersten darum das es y ein Punkt ist? Ich verstehs glaube ich überhaupt nicht. Warum sind immer Paare mit y ungleich 0 dabei? y soll ja 0 sein?

Und warum ist (1,0) aus dem Komplement? 1 versteh ich, da das nicht mehr in der Menge drin ist, aber warum 0 ? ist wahrscheinlich der gleiche grund wie bei meiner ersten frage...

---

Und warum ist IIR² offen? hab mir jetzt einfach gedacht, dass die integers geschlosse sind weil eben doch alle limit points zur Menge gehören aber auch in der Definition enthalten sind. Ist das eine falsch Überlegung?

---

wie ist denn bei euch abgeschlossen definiert.

Normal ist doch "M abgeschlossen" heißt "Komplement von M ist offen"

---

Doch, doch das ist schon richtig. Das versteh ich auch. Wenn M abgeschlossen ist, muss sein Komplement offen sein. Ich versteh nur nicht warum (1,0) das Komplement ist. für mich wär das (0,1) :S
Ich versteh die Theorie einfach nicht und wie ich die anwenden soll, vor allem das mit diesen Kreisen und warum die Menge nicht offen sein soll. Ich find auch fast keine Bespiele...

---

Du sprichst wohl noch von Beispiel 1

M = ((x,y) : -1 < x < 1, y= 0)

(1,0) ist nicht in M, weil -1 < x < 1 für diesen Punkt eben nicht gilt.

nicht in M heißt aber:   (1,0) ist im Komplement von M.

Jetzt zu der Frage: Warum ist das Komp nicht offen ?

na ja, "offen" heißt : Es gibt für jedes z aus M eine ganze Umgebung von

z, die vollständig in M enthalten ist.

Das ist beim Komplement von M eben nicht der Fall.

Die Umgebungen sind ja die offenen Kreisscheiben.

und wenn du um (1,0) so eine Scheibe legst, ist immer auch

ein Punkt  ( 1-epsilon, 0) in der Scheibe, und der ist in M, also

nicht im Komplement. Deshalb ist das Komplement nicht offen.

---

Ich verstehe warum 1 nicht zu M gehört aber nicht warum 0 nicht zu M gehört. 0 liegt ja zwischen -1 und 1. Dasselbe Problem hab ich nachher beim Komplement. Ich versteh warum 1 zum Komplement gehört, weil es ja nicht in der Menge drin ist, aber warum 0 ??

Du hast mir vorhin diese Erklärung gegeben:

" Das spräche für offen. Aber y=0 bedeutet, es sind alle Paare  (x/0) und wenn du um so einen Punkt eine eps-Umgebung legtst (offene Kreisscheibe), dann sind auch immer welche mit y ungleich Null dabei, deshalb st die Menge in IR² nicht offen."

Ich glaube hier liegt mein Problem. Ich versteh einfach nicht warum dieses 0 nicht dazugehört und es somit nicht offen ist?

---

Das sind doch Punkte mit 2 Koordinaten.

Ich glaube, du hast immer nur auf das x geschaut.

Das x muss zwischen -1 und 1 liegen UND GLEICHZEITIG

das y=0 sein.

---

In der Aufgabe

sind doch Punkte mit 2 Koordinaten.

Ich glaube, du hast immer nur auf das x geschaut.

Das x muss zwischen -1 und 1 liegen UND GLEICHZEITIG

das y=0 sein.