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Ich habe irgendwo einen Denkfehler bei der Mengenthematik. Es wäre super, wenn ihr mir dabei helfen könntet, den Fehler zu finden. (:
Folgende Sachlage:
Wir betrachten ΙR mit der durch d(x,y)= Ιx-yΙ gegebenen Metrik. Eine Teilmenge X ⊆ ΙR wird ein metrischer Raum mit der von d induzierten Metrik.
a)
Wir betrachten X = (-1,4] ⊆ ΙR. Dann ist (1,4] offen in X.
b)
Wir betrachten X = (-1,4] ⊆ ΙR. Dann ist (1,4] abgeschlossen in X.
Meine Gedanken dazu:
Wenn die Behauptungen in a) und b) stimmen, dann ist die Menge (1,4] in der Menge X = (-1,4] gleichzeitig offen und abgeschlossen. Dann müsste das Komplement X \ (1,4] = (-1, 1] ja ebenfalls offen und abgeschlossen in X sein. Das leuchtet mir aber nicht ein, eigentlich müsste viel eher gelten, dass es weder offen noch abgeschlossen ist.Ich dachte, dass nur X selbst und die leere Menge offen in X seien.
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Außerdem hatten wir einen Satz:
Sei (X, d) ein metrischer Raum und Y ⊆ X eine Teilmenge.
Eine Teilmenge V ⊆ Y ist genau dann Y -offen wenn es eine offenen Teilmenge U ⊆ X gibt so dass V = U ∩ Y ist.
Beispielhaft wähle ich:
X = ΙR
Y = [16, 25] (Es wird ja nicht gesagt, ob Y offen oder abgeschlossen ist, also müsste diese Eigenschaft beliebig sein, oder?)
U= (15, 20)
Dann wäre:
V= U ∩ Y = [16, 20) nach diesem Satz offen in Y. Also müsste es einen ε-Ball um jeden Punkt in der Menge V geben, sodass dieser vollständig in V liegt. Aber wie kann ein ε-Ball um 16 hier in V liegen, wenn ε>0 gilt ?Vielen Dank schon mal, über eine Antwort wäre ich super glücklich!
