Basis des R^3. Bilden die Spanlten von A eine Basis des R^3?

Question

bräuchte etwas Hilfe bei der 2. Aufgabe. Die A hat ganz gut geklappt.

Zu b) dachte ich mir:

Die Spalten von A bilden keine Basis vom R^3, da eine Basis ja soweit ich weiß ein linear unabhängiges Erzeugendensystem sein. Ein Erzeugendensystem ist es, aber nicht linear unabhängig.

Denn: I: α1          + α3  = 0
          II:        α2           = 0
          III: α1         - α3  = 0    => α1 = α3

Ist somit nicht eine Lineare abhängigkeit zwischen α1 und α3 bewisen? Undsind Zeile I und III nicht widersprüchlich zueinander?



Zu c)
 Man sagt ja der Kern sei : A*x=0
Also würde ich hier A mit dem Vektor x umltiplizieren und überprüfen, ob das ergebnis der Nullvektor sein wird. Kann man das so machen?

Answer 1

> α1 = α3

Das ist richtig. Aus der ersten Gleichung bekommst du aber α1 = -α3. Also muss α3 = -α3. Rate mal, was die einzige Zahl ist, die diese Gleichung erfüllt.

> A mit dem Vektor x umltiplizieren und überprüfen, ob das ergebnis der Nullvektor sein wird.

Das ist richtig.

Mit ein wenig mehr Vorwissen kann man b) und c) auch so lösen:

b) Die Spalten von A bilden eine Basis von ℝ³, weil A invertierbar ist, also maximalen Rang hat, also die Spalten linear unabhängig sind.

c) Der Vektor (0 1 0)^T liegt nicht im Kern von A, weil der Kern von invertierbaren Matrizen nur aus dem Nullvektor besteht.