Basis des Kerns einer linearen Abbilddung R^3 -> R bestimmen.

Question

Es sei V = {f ∈ R[X] ∣ deg(f) ≤ 3} der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 3. Weiter sei für λ ∈ R die lineare Abbildung E_λ ∶ V → R durch E_λ(f) = f(λ) gegeben.
 (a) Berechnen Sie eine Basis von Kern E_λ  . 
 (b) Berechnen Sie für λ ≠ μ eine Basis von Kern E_λ ∩ Kern E_μ  .

Ich habe so viel Zeit an dieser Aufgabe verbracht... Ich brauche Hilfe, denn ich verstehe einfach sie nicht. Wie kann ich Kern(E_λ) bestimmen? Soweit ich die Aufgabe verstehe, ist Kern(E_λ) = { f ∈ V | f(λ) = 0 λ ∈ R}. Das Polynom ist dann f(λ) = a₃*x³ + a₂*x² + a₁x + a_0. Die Basis dafür ist (x³,x²,x¹,1) => Die Dimension ist 4, denn x³,x²,x¹,1 linear unabhängig sind. Jetzt komme ich nicht weiter. Kann jemand es mir erklären?

Answer 1

Der Kern die Polynome x - λ, (x - λ)² sowie (x - λ)³.und die sind lin. unabh.

denn:

a*(x - λ) + b(x - λ)² + c(x - λ)³ = 0   mal was umformen

mit L statt lambda)

ax³ +(-3aL+b)*x² + (3aL²-2bL+c)*x+(- aL³+bl²-cL) = 0

und weil x³, x², x und 1 lin. unabh. sind, gilt

a= 0

3aL+b=0  also auch b=0

und mit

3aL²-2bL+c=0   auch c=0 .   BINGO!