Bestimmen Sie Basen des Kerns und des Bildes der linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

Für \( \beta \in \mathbb{R} \) ist die Matrix \( M(\beta) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) wie folgt definiert:
\( M(\beta):=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -\beta & 2+\beta & -1 \\ -\beta & \beta & 1 \end{array}\right) . \)
Gegeben ist nun die lineare Abbildung \( \varphi_{\beta}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \varphi_{\beta}(x):=M(\beta) x \). Bestimmen Sie Basen des Kerns und des Bildes von \( \varphi_{\beta} \). Prüfen Sie anschließend, für welche Werte \( \beta \in \mathbb{R} \) die Abbildung \( \varphi_{\beta} \) ein Isomorphismus ist.

Hinweis: Wenden Sie zur Bestimmung des Bildes den Gauß-Algorithmus an, um \( M(\beta)^{\top} \) auf Zeilenstufenform zu bringen. Aus dieser lässt sich eine Basis ablesen.

Ansatz:

Basis des Kerns
\( \begin{array}{l} \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ \beta & \partial-\beta & -1 & 0 \\ -\beta & \beta & 1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{rrr|cc} 1 & 1 & 1 & 0 & \\ 0 & 2 & -2 & 0 & z_{2}-z_{3} \\ -\beta & \beta & 1 & 0 \end{array} \\ \end{array} \)
Fall: Sei \( \beta=-\frac{1}{3} \) :
\( \begin{array}{l} z_{2}: 2 x_{2}-2 x_{3}=0 \Rightarrow x_{2}=x_{3} \\ z_{1} \vdots x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ \rightarrow x_{1}+2 x_{3}=0 \\ \rightarrow x_{1}=-2 x_{3} \\ \Rightarrow \operatorname{Kern}\left(\varphi_{\beta}\right)=\left\{(-2,1,1)^{\top}\right\} \\ \Rightarrow \operatorname{Basis}\left(\operatorname{Kern}\left(\varphi_{\beta}\right)\right)=\left\{(-2,1,1)^{\top}\right\} \end{array} \)

Bild von \( \varphi_{\beta} \)
Aus dem LGS folgt:
\( \operatorname{Bild}\left(\varphi_{\beta}\right)=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \cdot 3 \beta \end{array}\right)\right) \)

oder

\( \begin{array}{c} M(\beta)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -\beta & 2+\beta & -1 \\ -\beta & \beta & 1 \end{array}\right), M(\beta)^{T} \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -\beta & -\beta \\ 1 & 2+\beta & \beta \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right), z_{2}-z_{1} \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -\beta & -\beta \\ 0 & 2+2 \beta & 2 \beta \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right), z_{3}-z_{1} \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -\beta & -\beta \\ 0 & 2+2 \beta & 2 \beta \\ 0 & -1+\beta & 1+\beta \end{array}\right) \\ , z_{3}-\frac{\beta-1}{2 \beta+2} z_{2} \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -\beta & -\beta \\ 0 & 2+2 \beta & 2 \beta \\ 0 & 0 & \frac{3 \beta-1}{\beta+1} \end{array}\right) \Rightarrow \operatorname{kern}(M(\beta))=\{0\} \Rightarrow \operatorname{bild}(\operatorname{kern}(M(\beta)))=\{\boldsymbol{0}\} \end{array} \)
Aus \( M^{\prime}(\beta) \) können jetzt die pivot Elemente abgelsen werden, anhand dieser ist zu sehen, dass jede
Spalte der matrix teil der Basis des Bildes ist : \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-\beta \\ 2+2 \beta \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-\beta \\ 2 \beta \\ \frac{3 \beta-1}{\beta+1}\end{array}\right)\right\} \).

Problem:

Ist eine der Lösungen richtig oder sind beide Falsch zudem, fehlt noch der Isomorphismus.

Wenn der kern beim 2 ansatz korrekt ist, dann kann daraus ja schon gefolgert werden das das injektiv ist aber wie geht es dann weiter?

Answer 1

\( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - \beta & 2+\beta & -1 & 0 & z_{2}-z_{3} \\ -\beta & \beta & 1 & 0 \end{array} \)

\( \begin{array}{rrr|cc} 1 & 1 & 1 & 0 & \\ 0 & 2 & -2 & 0\\ -\beta & \beta & 1 & 0 \end{array} \)

Und dann doch wohl Fallunterscheidung

1. Fall ß=0

\( \begin{array}{rrr|cc} 1 & 1 & 1 & 0 & \\ 0 & 2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \)

Dann besteht der Kern nur aus der 0, also Abbildung injektiv.

2. Fall ß≠0 Damm z3 +ß*z1 gibt

\( \begin{array}{rrr|cc} 1 & 1 & 1 & 0 & \\ 0 & 2 & -2 & 0\\ 0 & 2\beta & 1 + \beta & 0 \end{array} \)

Dann z3 - ß*z2

\( \begin{array}{rrr|cc} 1 & 1 & 1 & 0 & \\ 0 & 2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 + 3\beta & 0 \end{array} \)

Dann kommt dein Fall  \( \beta=-\frac{1}{3} \)

Also ist im ersten Fall z.B. die Standardbasis eine

Basis des Bildes und im 2. Fall muss das Bild ja 2-dim sein.

Und dann ist ja bei der gegebenen Matrix

2*1.Spalte - 2.Spalte = 3.Spalte.

Also bilden die ersten beiden Spalten eine Basis für

das Bild.

Answer 2

Man hat \(\ker(M(\beta))=0 \iff \det(M(\beta))=6\beta+2\neq 0\iff \beta\neq -1/3\).

Für \(\beta\neq -1/3\) ist also \(M(\beta)\) invertierbar, also \(\varphi_{\beta}\)

ein Isomorphismus.

Im Falle \(\beta=-1/3\) ist \((-2,1,1)^T\) eine Basis des Kerns und

\(\{(1,1,1)^T,(0,2,-1)^T\}\) eine Basis des Bildes von \(\varphi_{\beta}\)