Berechne Basen des Kerns und des Bildes der Matrix A. Verständnisproblem Musterlösung

Question

Aufgabe:

Berechne Basen von Ker A und Im A für A =

1	0	1	-1
-1	1	2	1
0	2	7	-1

Problem/Ansatz:

Um den Kern zu berechne, berechne ich Ax=0, weil der Kern ja alles auf die Null abbildet.

Also bringe ich meine Matrix A auf Zeilenstufenform mit dem Gaußalgorithmus und erhalte

1	0	1	-1
0	1	3	0
0	2	6	0

Damit folgt:

x₄ = x₄, x₂ = -3x₃, x₁ = x₃-x₄

Damit würde ich dann weiter rechnen.

In der Musterlösung wird allerdings anders vorgegangen.

Die Matrix wird dort auch wie oben auf die Zeilenstufenform gebracht.

Dann steht in der Lösung:

„Hinzufügen von Zeilen mit -1 auf der Diagonalen liefert eine Basis B des Kerns in den Spalten 3 und 4, die ursprünglichen Vektoren in den Spalten 1 und 2 sind eine Basis C des Bildes.“

Also ist die geänderte Matrix:

1	0	1	-1
0	1	3	0
0	0	-1	0
0	0	0	-1

C = Im A = ((1 (-1) 1)^T, (0 1 2)^T) und B = Ker A = ((1 3 (-1) 0)^T, ((-1) 0 0 (-1)^T)

Leider verstehe ich überhaupt nicht warum das so ist.

Warum entspricht eine Basis des Bildes von A den ersten beiden Spalten der Matrix A in Zeilenstufenform?

Bzw. was genau ist das Bild einer Matrix, ich habe ja keine Funktion gegeben?

Warum muss ich für die Basis des Kerns die Zeile mit -1 auf der Diagonalen hinzufügen und warum ist die 3. und 4. Spalte der so entstandenen Matrix dann eine Basis des Kerns ?

:)

Answer 1

Warum muss ich für die Basis des Kerns die Zeile mit -1 auf der Diagonalen hinzufügen und warum ist die 3. und 4. Spalte der so entstandenen Matrix dann eine Basis des Kerns ?

Der zweite Teil deiner Frage ist einfacher:

Du hattest doch x4 = x4, x2 = -3x3, x1 = x3-x4  bzw. ohne die 3.Zeile,

die ja auch eine 0-Zeile wird x2 = -3x3, x1 = x4-x3 (Da hattest du falsche Vorzeichen.)

und kannst also x4 und x3 frei wählen. Und die beiden Gleichungen

zeigen, dass alle Lösungen so aussehen:

( x4-x3 ; -3x3 ; x3 ; x4 )  = x3*(-1;-3;1;0) + x4(1; 0 ; 0 ; 1 )

oder wenn du als Faktor -x3 und -x4 nimmst

= -x3*(1;3;-1;0) - x4(-1; 0 ; 0 ; -1 ) .

Und du siehst: Man kommt auf diese Basisvektoren, wenn man die

Matrix mit dem "-1-Trick" ergänzt.

Und da man nun weiß, dass der Kern die Dimension 2 hat

( 2 Basisvekt0ren) , weiß man aus dem Dimensionssatz:

dim(Bild) = Spaltenzahl von A  -  dim(Kern)

             =  4  - 2 = 2.

Alsi bilden je zwei lin. unabhängige Spalten von A

eine Basis des Kerns. Und weil die ersten beiden

Spalten von A ( vor der Umformung ) schon lin.

unabhängig sind, kann man diese nehmen.

War es vielleicht

C = Im A = ((1 (-1) 0)T, (0 1 2)T)

statt

C = Im A = ((1 (-1) 1)T, (0 1 2)T) ???

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe :)

Der Fehler ist bei der Matrix A selbst, dort habe ich mich in der ersten Spalte leider vertippt, diese lautet eigentlich (1 (-1) 1)^T, statt (1 (-1) 0)^T. Dann passt die Musterlösung auch wieder.

Answer 2

Deine Zeilenstufenforn ist falsch (und damit alles andere auch).

Comments

Die ist eigentlich richtig, die Matrix A ist nur falsch, dort habe ich mich leider vertippt. Die ersten Spalte lautet eigentlich (1 (-1) 1)^T, statt (1 (-1) 0)^T.

Aber danke für den Hinweis :)