Eine Basis des Bildes und des Kerns von Matrix ((0, 3 ,2), (2 ,1, 2) , (1, 0, 2)) bestimmen

Question

Wie kann ich die Basis einer Matrix bestimmen oder ablesen?

Zum Beispiel bei folgender Matrix:

(0 3 2

 2 1 2

 1 0 2)

Was muss ich machen, wenn in einer Aufgabe steht, dass ich die Basis des Kerns oder des Bildes bestimmen soll?

Comments

'Die' Basis gibt es nicht. Du kannst 'eine Basis' des Bildes oder eine Basis des Kerns angeben.

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Okay, dann ist das schon einmal geklärt. Kannst du mir noch zeigen, wie man die Basis des Kerns und des Bildes berechnet? Wäre echt klasse!

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Bestimme erst mal den Rang der Matrix. Das kannst du doch.

Answer 1

Der Rang dieser Matrix ist 3, da die Determinante der Mtarix nicht 0 ist.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%280%2C+3+%2C2%29%2C+++%282+%2C1%2C+2%29+%2C++%281%2C+0%2C+2%29%29

Daher hat das Bild in R^3 die Dimension 3.

Eine Basis des Bildes wäre {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

Die Dimension des Kerns ist folglich 0.

Er besteht nur aus dem Nullvektor. Seine Basis ist dann wohl die leere Menge.

Comments

Als Rang hatte ich auch gerade 3 raus, aber da war deine Antwort auch schon da.

Habe aber noch eine Frage dazu: wie genau kommst du auf die Basis des Bildes? Das, was du als Basis bezeichnest, ist doch der Erzeuger, oder? Wäre das dann nicht bei jeder 3x3 Matrix eine Basis? Oder werfe ich jetzt mehrere Begriffe durcheinander?

Wie kannst du so schnell aus der Basis des Bildes schließen, dass die Dimension des Kerns 0 ist? 

Sind Kern und Dimension des Kerns das Gleiche?

Bin mir bei den Begriffen leider oft noch sehr unsicher, wie ich sie verwenden muss.

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 Das, was du als Basis bezeichnest, ist doch der Erzeuger, oder? Wäre das dann nicht bei jeder 3x3 Matrix eine Basis? Oder werfe ich jetzt mehrere Begriffe durcheinander?

wie genau kommst du auf die Basis des Bildes? 

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Schau bei den Definitionen und grundlegenden Eigenschaften. Weil der Rang 3 ist, muss der gesamte R^3 rauskommen. Da kann man gleich die angegebene Basis nehmen und bracht nicht zu rechnen.

Wie kannst du so schnell aus der Basis des Bildes schließen, dass die Dimension des Kerns 0 ist? 

Hier rechne ich 3 - 3 = 0, weil ich wegen Rang 3 der 3x3-Matrix weiss, dass Ax= 0 nur die triviale Lösung hat.

Sind Kern und Dimension des Kerns das Gleiche?

Kern ist eine Menge von Vektoren, die eine Dimension hat. 

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Danke für die Erklärungen!!!

Jetzt sind mir einige Begriffe viel klarer geworden. Ich wusste auch bei meinen vergangenen Fragen nicht immer , wie ich die Begriffe richtig verwenden soll. Unser Skript ist leider auch nicht immer so gut.

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Bitte. Gern geschehen!

Erklärungen sind aber weniger genau als Definitionen und Sätze in der Unterlagen. Du solltest die schon nochmals ansehen.