Rechnung, Matrix, Dimension bestimmen

Question

hallo

ich komm mit der Rechnung nicht weiter:

$$ \begin{pmatrix}  1 & -1 &0 \\ 2 & w+1 &w \\ w+2 & w & 1 \end{pmatrix} $$

Ich habe das nach dem Gauß-Algorythmus umgeformt:

$$ \begin{pmatrix}  1 & -1 &0 \\ 0 & w+3 &w \\ 0 & 2w+2 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}  1 & -1 &0 \\ 0 & w+3 &w \\ 0 & -4 & 1-2w \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}  1 & -1 &0 \\ 0 & -4 & 1-2w \\ 0 & w+3 &w \end{pmatrix} $$

meine Aufgabe war für jedes w ∈ ℝ die Dimension des von den drei Vektoren:

(1, 2, w+2)      (-1, w+1, w)  und (0, w, 1)

erzeuten Unterraums des ℝ^3 zu bestimmen.

dankee für jede Antwort.

Answer 1

Du hast bei einigen Umformungsschritten

1   - 1     0
o   w+3   w
0  2w+2   1

und dann vielleicht 3. Zeile *(-w) und 2. dazu addieren

und hinterher schauen, was bei w=0 passiert.

1   - 1               0
o   w+3             w
0  -2w^2 -w+3    0

jetzt ist jedenfalls für -2w^2 -w+3 = 0 

die 3. Zeile eine 0-Zeile. Also für w=1 oder w=-3/2 .

in beiden Fällen zeigt die 2. Zeile:    Rang=2

bleibt also nur nur der Fall w=0 , da wird aus

1   - 1     0
o   w+3   w
0  2w+2   1

die Matrix

1  -1   0
0   3   0
0    2   1

die offenbar Rang 3 hat.

Also rang=2 für w=1 oder w=-3/2 .

sonst rang = 3 .

Das geht übrigens auch mit Determinanten.

Die det ist hier -2w^2 -w +3 und für det = 0 ist

rang<3 sonst =3.