Hier da brauch ick keene Indukßjon nich. Die sollen euch lieber wat anständjet lern.
Praktisch sehr brauchbar; es gibt eine verallgemeinerte Produktregel " hoch n " Courant Bd. 2 führt den Differenzialoperator D ein
D := ( d/dx ) ( 1 )
Dann lautet die n-te Ableitung analog dem binomischen Lehrsatz mit seinen ===> Binominalkoeffizienten
D ^ n ( u v ) = SUMME ( n k ) D ^ k u D ^ ( n - k ) v ( 2 )
Setze u := x ; v := exp ( x )
Mit ( 2 ) kannst du aus dem Stand ohne Zwischenschritte die 4 711. Ableitung deiner funktion ermitteln.
Leider finde ich es nicht auf Youtube . ===> Kläre Waldoff
" Wennde nich artig büs / Schick ick dir ufft Jimnasiom / Watte davon has / Würste schon sehn . . . "
Und weil DU so artig gelernt hast - Induktion und e-Funktion - erzähle ich dir jetzt zwei matematische Witze. Ich fand sie in einem Internetportal über Mathewitze. Es waren übrigens die einzigen guten Witze. Der Witz über Induktion dünkt mich eindeutig der bessere; bewiesen werden soll der Fundamentalsatz der Zahlenteorie
" Alle natürlichen Zahlen sind gleich. "
Und wie üblich bei der Art epochalen -entdeckungen beweisen wir dieses teorem mit einem Lemma, dem Lemma 1722:
" Sei n eine natürliche Zahl.
i < = n ; j < = n ===> i = j ( 3 ) "
Und aus dem Lemma der Fundamentalsatz. Das Lemma - du ahnst es schon - wird induktiv bewiesen.
Induktionsanfang n = 1 ( trivial ) Induktionsannahme ; siehe ( 3 ) Jetzt der Induktionsschritt. Ich führe noch die Definitionen ein
i1 := i - 1 ; j1 := j1 - 1 ( 4 )
Sei also
i < = n + 1 | - 1 ( 5a )
i1 < = n ( 5b )
j < = n + 1 | - 1 ( 5c )
j1 < = n ( 5d )
In ( 5bd ) ist aber Induktionsannahme ( 3 ) anwendbar:
i1 = j1 | + 1 ( 6a )
i = j ( 6b ) ; wzbw
Auch der Witz über die e-Funktion hat eine ähnliche Pointe; die e-Funktion sei konstant.
(V) x € |R (E) y = y ( x ) | x = 2 Pi y ( 7 )
exp ( i x ) = exp ( 2 Pi i y ) = ( 8a )
= [ exp ( 2 Pi i ) ] ^ y = 1 ^ y = 1 ( 8b )
( 8ab ) zusammen
exp ( i x ) = 1 (V) x ( 8c )
