Lineare Algebra. Basis des Kerns der linearen Abbildung phi_A: R^4 -> R^3 bestimmen.

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns der linearen Abbildung \( \varphi_{A}:\left\{\begin{array}{c}{\mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}} \\ {x \mapsto A \cdot x}\end{array}\right. \) mit
\( A=\left(\begin{array}{llll}{1} & {2} & {3} & {4} \\ {1} & {2} & {4} & {5} \\ {2} & {4} & {5} & {7}\end{array}\right) \)
b) Für welche Werte von a bzw. b liegt \( \left(\begin{array}{l}{a+1} \\ {b+1} \\ {b+2}\end{array}\right) \) im Bild von \( \varphi_{A} ? \)

Mein Ansatz für a) sieht so aus:

A*x=0

(1 2 3 4 )

( 1 2 4 5 )

(2 4 5 7 )

nach Umformungen habe ich diese Matrix:

( 1 2 3 4 )

( 0 0 1 1 )

( 0 0 0 0 )

die Vektoren (1 2 3 4) und (0 0 1 1 ) sind linear unabhängig.

was mache ich jetzt? bilden sie jetzt auch eine Basis?

zu b:

wie mache ich das mit Bild? Ansatz reicht.

Comments

Nur mal zu dem Teil:

 

die Vektoren (1 2 3 4) und (0 0 1 1 ) sind linear unabhängig.

was mache ich jetzt? bilden sie jetzt auch eine Basis?

Nein. Du weisst jetzt, wenn du das richtig gerechnet hast, dass die Matrix den Rang 2 hat. Das Bild hat somit die Dimension 2. Die Basis des Bildes muss aus 2 linear unabhängigen Vektoren aus dem Bildraum bestehen und der Bildraum besteht ja aus Vektoren mit nur 3 Komponenten.

Du brauchst für die Basis des Bildes 2 linear unabhängige Vektoren, die im Bildraum liegen. Da kannst du 2 beliebige linear unabhängige Spaltenvektoren deiner Bildmatrix nehmen. Also (1,1,2)^T und (3,4,5)^T. Sie sind die Bildvketoren von (1,0,0,0)^T und (0,0,1,0)^T. 

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ich verstehe nicht ganz, was du meinst.

BILD ist doch: A*x= x´

Ich habe da oben die Dimension bestimmt und auch 2 lin unabhängige Vektoren oder?

was muss ich jetzt genau machen?

muss ich erstmal bild bestimmen? und wenn ja, wieso?

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Das Bild ist die Menge aller möglichen Bildvektoren x'. Und in diesem Fall eine Ebene in R^3.

Aber du musst ja eine Basis des Kerns bestimmen.
Also die Lösung von A*x = 0. Aber das hast du doch schon fast.

Damit ist das, was ich im Kommentar gemacht habe, nicht nötig.

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also fehlt mir nur noch das Erzeugnis.

weil Basis ist : lin Unabhänigkeit und Erzeugnis bzw. Linearkombination

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die Vektoren (1 2 3 4) und (0 0 1 1 ) sind linear unabhängig.

was mache ich jetzt? bilden sie jetzt auch eine Basis?

Vektoren im Kern sind doch jetzt die (x,y,z,w)^T, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

x + 2y + 3z + 4w = 0         (I)
                 z+w = 0            (II)

(II)--> w = -z

Daher (I)'  x + 2y + 3z - 4z = 0 

Also: x + 2y - z=0         

==> x = z-2y 

Die Vektoren im Kern haben daher die Form

(z-2y, y,z,-z)^T = z(1,0,1,-1) + y (-2,1,0,0)

Damit wäre 

{(1,0,1,-1), (-2,1,0,0)} = B eine Basis des Kerns.

Bitte nachrechnen und kontrollieren.
 

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ich habe es nachgerechnet:

I. x+2y+3z+4w= 0

II. Z+W =0

z= -w

in I einsetzen:

x+2y-3w+4w= 0

x+2y+w=0

x= -2y-w

y= (-x-w)/ 2

ich weiß nicht wie du auf dieses kommst:(z-2y, y, z,-z)

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Aus z= -w

in I einsetzen:

x+2y-3w+4w= 0

x+2y+w=0

x= -2y-w

Kannst du machen: (-2y-w, y, -w,w) = y(-2,1,0,0) + w(-1,0,-1,1)

Somit hat dein 2. Basisvektor ein anderes Vorzeichen. Die beiden spannen aber die gleiche Ebene auf wie meine Basisvektoren.

Answer 1

Nun zu b) Ansatz: Gesuchte Vektoren müssen sich als Linearkombination der Basis schreiben lassen.

(a+1, b+1, b+2) = s(1,1,2) + t(3,4,5)
Ergibt komponentenweise 3 Gleichungen mit 5 Unbekannten Grössen. Gesucht sind die Variablen a und b. s und t kannst du als Parameter auffassen.

a+1 = s + 3t     (I)

b+1 = s + 4t      (II)

b+2 =2s + 5t        (III)

----------------------------

b- a = t                wenn (II) -(I) gerechnet

==> b = a + t und
1 = s + t           wenn (III) -(II) gerechnet

==> s = t-1

Also:
a + 1 =( t - 1) + 3t          (I)'
(a+t) + 1 = t-1 + 4t        (II)'

a = 4t - 2
a = -2 + 4t
b = a+t = -2 + 4t + t = -2 + 5t

==> (a+1, b+1, b+2) = (4t-1, -1 + 5t,  5t), wobei t Element R

Bitte selbst nachrechnen. (ohne Gewähr)

Comments

kann ich in b nicht einfach A*x=(a+1)

                                                  (b+1)

                                                   (b+2)

und dann umformen, wann es eine Lösung für a und b gibt?

ich habe das so gemacht und kam darauf: a und b gleich 0 damit LGS lösbar ist

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Weil (1,1,2) im Bild liegt, ist a=b=0 auf jeden Fall eine Möglichkeit. Das ist die offensichtliche Lösung für t=0 und s=1.

D.h. bei meiner Rechnung ist auf jeden Fall ein Rechenfehler drinn.

Aber ergibt sich bei dir zwingend a=b=0?

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ja a und b müssen null sein weil:

(1 2 3 4 , a+1)

(1 2 4 5, b+1)

(2 4 5 7, b+1)

durch Umformungen komme ich hier drauf:

(1 2 3 4, a+1)

(0 0 1 1, -a+b)

(0 0 0 0, -3a+2b)

damit das lgs lösbar ist muss die letzte zeile a und b = 0 sein

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wie kommt es dann wohl, dass (2, -4, 5, 1) ein Gegenbeispiel ist ?

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PeterF. Danke für's Einspringen.

Mathematiker10:

(0 0 0 0, -3a+2b)

Es genügt, wenn du verlangst dass 3a = 2b gilt. Z. B. mit a=2 und b=3.

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1 = s + t
daraus folgt s = 1 - t
und nicht s = t - 1  ....