Wie bestimmt man die Basis des Kerns einer linearen Abbildung?

Question

Hi!

Aufgabe:

$$Bestimme\quad den\quad Kern\quad un\quad dessen\quad Basis\quad von:\\ F:{ R }^{ 3 }\rightarrow { R }^{ 3 }\quad mit\quad \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \mapsto \left[ \begin{matrix} x \\ z-y \\ x \end{matrix} \right] \\ Kern(F)=\left\{ { \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \in { R }^{ 3 } }|{ F(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] )=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]  } \right\} \\ \qquad \qquad =\left\{ { \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \in { R }^{ 3 } }|{ \left[ \begin{matrix} x \\ z-y \\ x \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]  } \right\} \\ \\ \left[ \begin{matrix} x \\ z-y \\ x \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \quad gilt\quad für\quad x=0\quad und\quad z=y\quad =>\left[ \begin{matrix} 0 \\ z \\ z \end{matrix} \right] \\ \\ Kern(F)=\left\{ { a\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \in { R }^{ 3 } }|{ a\in { R } } \right\} \quad Stimmt\quad dies\quad so?\\ \\ Nur\quad wie\quad bestimme\quad ich\quad nun\quad die\quad Basis?$$

Answer 1

Eine Basis ist \(\left\{\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\right)\right\}\).

Wie bestimmt man die Basis

Mit deiner Berechnung von \(\mathrm{Kern}(F)\) folgt das eigentlich unmittelbar aus der Definition von Basis.

Comments

Also stimmt meine Rechnung erstmal?

Und warum folgt dies unmittelbar? Eine Basis ist doch entweder gegeben indem man

a) linear unabhängige Vektoren des Spanns findet, die Anzahl der Vektoren muss der Dimension des Vektorraums entsprechen wofür man die Basis bilden möchte.

oder

b) Der Spann muss   gleich dem Vektorraum sein, also ein Erzeugendensystem und die Vektoren des EZ müssen linear unabhängig sein.

Nur weiß ich hier nicht, wie ich dies machen soll.

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Also stimmt meine Rechnung erstmal?

Ja.

linear unabhängige Vektoren

\(\left\{\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\right)\right\}\) ist linear unabhängig.

des Spanns

Was ist das?

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Was ist das?

Span bzw. lineare Hülle oder ach Erzeugnis genannt, also die Menge alles vektoren, die sich als Linearkombination von $$\left\{ { a\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \in { R }^{ 3 } }|{ a\in { R } } \right\} $$ darstellen lassen.

$$\left\{\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\right)\right\}$$ ist linear unabhängig.

Richtig

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Nur wie geht es nun weiter?

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Ich verstehe dies irgendwie nicht

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Würde hier noch gerne wissen wie ich dies nun zeige kann.

Und eine weitere Frage, wäre dies hier das Bild:

$$Bild(F)=\left\{ { \left[ \begin{matrix} x \\ z-y \\ x \end{matrix} \right]  }|{ x,y,z\quad \in R } \right\} ={ R }^{ 3\quad  }$$ ?

Answer 2

Du brauchst bloß den Richtungsvektor hin schreiben. Das ist der einzige Basisvektor einer Gerade. Schau dir nochmal an, wie eine Basis definiert ist.

Comments

Nur woher weiß ich ob die Kriterien einer Basis erfüllt sind?

Ich müsste ja mit (0,a,a) den Vektor (x,y,z) darstellen können, was nicht der Fall isr, also liegt keine Basis vor?

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Würde das Bild $$Bild(F)=\left\{ { \left[ \begin{matrix} x \\ z-y \\ x \end{matrix} \right]  }|{ x,y,z\quad \in R } \right\} ={ R }^{ 3\quad  }$$ lauten?

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Erstmal zum Kern:

Der Kern den du oben berechnet hast stellt einen Untervektorraum des R^3 dar. Dieser UVR hat eine Basis. Allgemein kann ein Vektor als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, also

$$\vec{v}=\sum \limits_{}^{}a_i\vec{e_i}$$

Bei dir oben steht

$$\vec{v}_{Kern}=a\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{1}{a_i\vec{e_i}}$$

Mit

$$a_1=a,\vec{e_i}=\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$

Die erste Komponente dieses Vektors ist immer 0.

Zum Bild : Das Bild hast du formal richtig aufgeschrieben, aber es ist nicht =R^3.

Grund: Z.B liegt der Vektor (1,2,3) nicht im Bild.

Schreibe das Bild doch mal so:

$$\vec{v}_{Bild}=x\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+(z-y)\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

Das ist eine Ebene. Auch hier handelt es sich um einen (2-dimensionalen) Unterraum.

Die beiden Basisvektoren kann man wieder direkt ablesen.

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Zum Kern:

Mein Problem ist das es ja Kriterien für eine Basis gibt, einmal muss der Span = V sein, damit ein Erzeugendensystem vorliegt, dann müssen die Vektoren im EZS lin unabhängig sein. Letzteres ist klar, das erste nicht.

Zum Bild: Also wäre es besser zu schreiben das Bild ist eine Teilmenge von R^3?

Und auch hier ist das mit dem bloßen ablesen komisch:) Denn es gibt ja diese Kriterien die ich nachweisen muss und über die Dimension kann ich ja nicht gehen.

Wäre nett, wenn du mir einen Tipp geben könntest, wie ich dieses Problem lösen kann.

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Also mir ist schon bewusst, dass es sich bei diesen Richtungsvektoren um eine Basis handeln könnte, die Frage wäre nur warum:)

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Wäre nett, wenn du mir einen Tipp geben könntest, wie ich dieses Problem lösen kann.

Lies die Definition des Spans nach.

$$Span\left\{\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\right)\right\}=\left\{a\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\right),a \in R\right\}$$

Mmh, das kommt irgendwie bekannt vor...

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Job, ich weiß, dass es sich dort um den Spann handelt und auch bei :

$$\vec{v}_{Bild}=x\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+(z-y)\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

handelt es sich um den Spann, jedenfalls kann man es so schreiben.

Problem ist nur es muss gelten Span(..)=V, nur was ist in dem Fall V (beim Kern)?

Dies hier $$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$?

Da würde ja schell folgen, dass Span != V und eine Basis wäre nicht mehr möglich.

Oder bin ich gerade auf der falschen Spur? Ich hoffe du verstehst mich irgendwie und danke für deine Hilfe

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nur was ist in dem Fall V (beim Kern)?

V ist der Kern.

Allgemein ist V der Vektorraum, dessen Basis du bestimmen möchtest.

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Oder ist das ich V : $$\begin{pmatrix} x\\z-y\\x \end{pmatrix}$$?

@ oswald

Habe gerade geschrieben gehabt.

V ist der Kern.

Aber der Span ist doch schon der Kern?

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\(\mathrm{Span}\left(\left\{\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\1\end{smallmatrix}\right)\right\}\right) = \mathrm{Kern}(F) = \) Vektorraum von dem du die Basis bestimmen sollst.

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Und für das Bild ist es dasselbe, nur eben ein Vektor mehr im Span?