Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung

Question

bei folgender Aufgabe benötige ich unbedingt Hilfe:

Sei φ:R^{n×n} → R^{n×n}, φ(A)=A^2−A.

a) Bestimmen Sie Dφ(A) für beliebiges A∈R^{n×n} und geben Sie die Matrixgleichung für B ∈ Kern Dφ(A) an.

b) Sei A∈R^{n×n} eine Matrix mit A=A^2 ,d.h. A ist eine lineare Projektion. Vereinfachen Sie die Matrixgleichung für B ∈ Kern Dφ(A) für diesen Fall und bestimmen Sie Kern Dφ(A).

Comments

Du hast vergessen zu sagen, was \(D\) sein soll.

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D ist das Differential

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Und das ist wie definiert? Die Aufgabe klingt nach Linearer Algebra.

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Es gehört aber zum Teil mit zur Differentialgeometrie. Das Differential ist definiert als die Ableitung von φ(A)=A^2−A.

Also Dφ(A)(H)= AH+HA-H

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Und was ist dann noch die Frage? Wie man \(A^2=A\) zum Berechnen von \(B\) aus \(AB+BA-B=0\) verwendet?

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Ja genau letzteres ist meine Frage

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Meinst Du nicht, es waere sinnvoll, solche Sachen gleich von Anfang an mitzuteilen?

Mit dem algebraischen Zusammenhang \(A^2=A\) wirst Du wohl nichts direkt anfangen koennen. Aber es wird ja im Hinweis erwaehnt, dass \(A\) dann eine Projektion ist. Projektionen sind diagonalisierbar und auf der Diagonale stehen nur Einsen und Nullen.