Endlich mal jemand, der Ahnung hat. Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel:
" Es gibt keine notwendigen, sondern nur hinreichende Kriterien.
Eine gerade Nullstelle ist stets ein ( lokales ) Extremum; das Vorzeichen der ersten Ableitung ungleich Null entscheidet dann, ob Minimum oder Maximum.
Eine ( mehrfache ) ungerade Nullstelle ist stets ein ===> Terrassenpunkt. "
Denk mal rein logisch nach; was kann alles schief gehen?
1) Die ersten n Ableitungen verschwinden; die ( n + 1)_te Ableitung existiert nicht - keine Aussafge.
2) Die Funktion an sich ist unendlich oft differenzierbar, doch verschwinden alle ihre Ableitungen - keine Aussage.
3) Beispielsweise die Betragsfunktion ist in ihrem lokalen Minimum auch nicht einmal differenzierbar; ihre Nullstelle hat überhaupt keine definierte " Ordnung " - keine Aussage.
4) Und jetzt wende ich mich einer Klasse zu, die selbst die Matematiker als " patologisch " handeln.
Hinreichend für streng monoton Wachsend auf einem Intervall ist f ' ( x ) > 0 - das wisst ihr.
Gilt auch die Umkehrung? Nur ===> fast überall ( f.ü.)
Eine auf einem Intervall streng monoton wachsende Funktion ist f.ü. differenzierbar mit f ' ( x ) > 0 .
Nun folgt zwar aus der Differenzierbarkeot die Stetigkeit ( Die Tangente ist stetig ) aber nicht umgekehrt.
Eine sehr poipuläre Funktion, deren Konstruktion schon in der PC Zeitschrift besprochen wurde:
Die ===> Kochsche Schneeflockenkurve ( KSK ) ein ===> Fraktal.
Die KSK zeichnet sich dadurch aus, dass sie auf ganz |R stetig ist, ohne auch nur in einem Punkte differenzierbar zu sein.
Ergo a tergo kann sie auf keinem noch so kleinen Intervall monoton verlaufen; sonst w#re sie ja f.ü. differenziernbar.
Doch sie ist nirgends differenzierbar.
Ihre LOKALEN EXTREMATA LIEGEN DICHT ,
So viel zu deinem Kriterium ...