Basis von Kern und Bild der linearen Abbildung: f: R[x]≤3 -> R[x]≤3, p(x) I-> p'(x) - p(0)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis von Kern und Bild der linearer Abbildung
$$ f: \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 3}, \quad p(x) \mapsto p^{\prime}(x)-p(0) $$
Dabei ist \( \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich drei.

Comments

Ist es hier üblich das komplette Übungsblatt per Copy&Paste reinzustellen? Machst du das mit der Klausur dann genauso?

---

Man könnte das Bild ja erstmal allgemein hinschreiben

$$p(x) = (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0)' - a_0 = 3a_3x^2 + 2a_2x + (a_1 - a_0)$$

Dafür nun eine Basis suchen.

Für den Kern ergibt sich dann eben eine quadratische Gleichung,

$$3a_3x^2 + 2a_2x + (a_1 - a_0) = 0$$

deren Lösungsmenge du aufstellen und für diese eine Basis bestimmen musst.

---

@Thilo87: Die Lösungsmenge der quadratische Gleichung hat mit der Aufgabe gar nichts zu tun. Das Polynom links soll das Nullpolynom sein, das ist die Bedingung. (Und der Kern ja auch eindimensional)

---

In anbetracht der Tatsache, das die Übung/Vorlesung nichts bringt, muss man halt auf das gute alte Internet zurückgreifen...

Answer 1

es gilt

\( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\),

\( p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \),

\( p(0) = d \).

\( p'(x) - p(0) = 3ax^2 + 2bx + (c - d) \).

Du siehst hier, dass der Kern sich aus allen \( (a, b, c, d) \) zusammensetzt, die \( a = 0 \), \( b = 0\) und \( c = d \) erfüllen.

Das Bild wiederum besteht aus allen \( (a, b, c, d) \), für die \( a = 0 \) ist.

Das Bild ist folglich unschwer erkennbar dreidimensional, während der Kern eindimensional ist. Erwartungsgemäß ergibt die Summe aus Bild- und Kerndimension einer linearen Abbildung auf einem vierdimensionalen Vektorraum die Zahl vier.

MfG

Mister

Comments

Wahnsinn so eine verständliche erklärung ist selten zu finden. Viiieeelllleeen Dank auch von mir.