Hi,
fangen wir erst mal mit der a) an.
Es ist eine Äquivalenz zu zeigen, also musst du die folgenden zwei Aussagen zeigen:
1) $$f~~injektiv ~\Rightarrow~ \ker(f)=\{0\}$$
2) $$\ker(f)=\{0\}~\Rightarrow~ f~~injektiv ~$$
Kümmern wir uns erst mal um 1). Sei f injektiv, d.h.
$$x,y\in V,~x\neq y~\Rightarrow~f(x)\neq f(y)~.$$
Außerdem ist f linear. Schreibe die Eigenschaften einer linearen Abbildung auf. Nehme nun an, es würde ein
$$z \in \ker(f)$$
mit
$$z\neq0$$
geben. Damit kannst du nun einen Widerspruch erzeugen.
Zu 2).
Sei
$$\ker(f)=\{0\}~.$$
Nehme an, es gibt $$x,y\in V$$ mit $$f(x)=f(y)~.$$
Es folgt $$f(x)-f(y)=0~.$$ Nutze nun aus, dass die Abbildung linear ist. Den Rest des Beweises musst du selber schaffen.