0 Daumen
2,1k Aufrufe

Aufgabe:

Seien \( V \) und \( W \mathbb{K} \)-Vektorräume über dem Körper \( \mathbb{K} \) und die Abbildung \( f: V \rightarrow W \) linear. Ferner sei \( \left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right\}, n \in \mathbb{N} \) eine Basis von \( V \). Zeigen Sie:

a) Die Abbildung \( f \) ist genau dann injektiv, wenn \( K \operatorname{er}(f)=\{0\} \).

b) Die Abbildung \( f \) ist genau dann injektiv, wenn \( \left\{\left(f\left(b_{1}\right), \ldots, f\left(b_{n}\right)\right\}\right. \) linear unabhängig in \( W \) ist.

c) Die Abbildung \( f \) ist genau dann surjektiv, wenn \( \left\{\left(f\left(b_{1}\right), \ldots, f\left(b_{n}\right)\right\}\right. \) ein Erzeugendensystem in \( W \) ist.

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
Hi,

fangen wir erst mal mit der a) an.

Es ist eine Äquivalenz zu zeigen, also musst du die folgenden zwei Aussagen zeigen:

1) $$f~~injektiv ~\Rightarrow~ \ker(f)=\{0\}$$

2) $$\ker(f)=\{0\}~\Rightarrow~ f~~injektiv ~$$

Kümmern wir uns erst mal um 1). Sei f injektiv, d.h.

$$x,y\in V,~x\neq y~\Rightarrow~f(x)\neq f(y)~.$$

Außerdem ist f linear. Schreibe die Eigenschaften einer linearen Abbildung auf. Nehme nun an, es würde ein

$$z \in \ker(f)$$

mit
$$z\neq0$$

geben. Damit kannst du nun einen Widerspruch erzeugen.

Zu 2).

Sei

$$\ker(f)=\{0\}~.$$

Nehme an, es gibt $$x,y\in V$$ mit $$f(x)=f(y)~.$$

Es folgt $$f(x)-f(y)=0~.$$ Nutze nun aus, dass die Abbildung linear ist. Den Rest des Beweises musst du selber schaffen.
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community