Stammfunktion bestimmen - gebrochen rationale Funktion

Question

Wie kann man die Stammfunktion von der Funktion $$ f(x)\quad =\quad \frac { { x }^{ 3 }+2x }{ { x }^{ 2 }-2 } $$ bilden.

Bin wirklich am verzweifeln :/
Danke für jede Hilfe :)

Answer 1

Polynomdivision machen weil der Zähler einen höheren Grad als der Nenner hat.

f(x) = (x^3 + 2·x)/(x^2 - 2) = x + 4·x/(x^2 - 2)

Nun kann man den Bruch über Substitution integrieren

∫ 4·x/(x^2 - 2) dx

z = x^2 - 2
dz = 2·x dx
dx = dz/(2·x)

∫ 4·x/(z) dz/(2·x) = ∫ 2/(z) dz = 2·LN(z)

∫ 4·x/(x^2 - 2) dx = 2·LN(x^2 - 2)

F(x) = x^2/2 + 2·LN(x^2 - 2)