Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktion

Question

Gegeben ist die Funktion f : R \ {0} 7→ R mit f(x) = \( \frac{x-4}{x^5} \)

Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten. Ermitteln Sie – falls vorhanden – Polstellen, Extremstellen (und deren Art) sowie Wendestellen und machen Sie eine qualitative Skizze des Graphen der Funktion.

Lösung:

Es ist f(x) = x⁻⁴−4x⁻⁵, also f′(x) = −4x⁻⁵ + 20x⁻⁶ und f′′(x) = 20x⁻⁶ −120x⁻⁷
Damit ändert f′(x) sein Vorzeichen nur bei x = 5 und zwar von + auf −, weswegen f für x < 0 sowie für 0 < x < 5 jeweils streng monoton wachsend, für x ≥ 5 streng monoton fallend und für x = 5 maximal ist. Der einzige Extrempunkt ist also ein (der Polstelle wegen lokales) Minimum bei (5; 5⁻⁵).
Die zweite Ableitung wechselt für x = 0 und für x = 6 das Vorzeichen, das sind also die einzigen Wendestellen. Die Funktion ist also für x ≤ 0 sowie für x ≥ 6 konvex und für x ∈ [0, 4] konkav

Kann mir jemand die Lösung nochmal erläutern, ich verstehe sie nicht (außer die Ableitungen). zB hätte ich die Monotonie mithilfe des limes gegen 0⁺ (-∞) und 0^- (+∞) bestimmt. Um die Art der Extremstelle rauszufinden, hätte ich x=5 in die zweite Ableitung gesetzt (=\( \frac{-20}{5^7} \)) und da das negativ ist, wäre es doch ein relatives Maximum. Und woher kommt x=6??

Answer 1

Da die Musterlösung das Monotonieverhalten am Extrempunkt richtig beschreibt, kann das nur ein Fehler aus Unachtsamkeit gewesen sein.

Es sollte aber klar sein, dass wenn sich das Monotonieverhalten von steigend auf fallend ändert, an der Stelle nur ein Hochpunkt sein kann.

Funktion & Ableitungen

f(x) = (x - 4)/x^5
f'(x) = (20 - 4·x)/x^6
f''(x) = (20·x - 120)/x^7

Polstelle

x^5 = 0 → x = 0

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches

lim (x → - ∞) f(x) = 0+
lim (x → 0-) f(x) = ∞
lim (x → 0+) f(x) = - ∞
lim (x → ∞) f(x) = 0+

Extrempunkte

f'(x) = 0 → x = 5 (VZW +/- → HP)
f(5) = (5 - 4)/5^5 = 1/3125 = 0.00032 → HP(5 | 1/3125)

Monotonie

f'(x) > 0 → x < 5 -- > streng monoton steigend im Intervall ]- ∞ ; 0[ und ]0 ; 5[
f'(x) < 0 → x > 5 -- > streng monoton fallend im Intervall ]5 ; ∞[

Wendepunkte

f''(x) = 0 → x = 6 (VZW -/+ → KW R/L)

f(6) = (6 - 4)/6^5 = 1/3888 = 0.0002572 → WP(6 | 1/3888)

Krümmungsverhalten

f''(x) > 0 → x < 0 ∨ x > 6 → linksgekrümmt im Intervall ]- ∞ ; 0[ und ]6 ; ∞[
f''(x) < 0 → 0 < x < 6 → rechtsgekrümmt im Intervall ]0 ; 6[

Comments

Vielen lieben Dank erstmal für die ausführliche Antwort und die Mühe die dahinter steckt (:
Ich saß sehr lange an der Aufgabe und werde sie glaube ich erst morgen wieder angehen. Nachdem ich bisschen Abstand dazu gewonnen habe, werde ich alles nochmal neu bearbeiten und mich bei Fragen melden

---

Kannst du mir nochmal genauer erklären, wie man Monotonie und Krümmungsverhalten ausrechnet?

Und was bedeutet KW R/L

---

Also ich habe für die Monotonie in die erste Ableitung ganz einfache Zahlen eingesetzt:

für x<0                     f'(-1)  > 0  sms
für x>0 und x<5       f'(1)   > 0  sms
für x>5                     f'(10) > 0  smf

analoges Vorgehen für Krümmungsverhalten mit der zweiten Ableitung, aber da muss ich darauf achten, dass ich den Wendepunkt und nicht Hochpunkt betrachte?

Zum Thema Graphen zeichnen:

• Gebrochen rationale Funktionen haben oft eine Definitionslücke und sehen circa aus wie in dem hier berechneten Beispiel (oder so ähnlich- gespiegelt)
• Wenn ich keine Extremstellen finde (zB x³), dann fällt oder steigt der Graph kontinuierlich. Um das rauszufinden, setze ich irgendeine Zahl in die erste Ableitung und sehe dadurch, ob die Steigung positiv oder negativ ist

Gibt es noch irgendwas, was ich mir da merken muss... Faustregeln? Also abgesehen von x² oder sin/cos Funktionen

Answer 2

"Ich hätte die Monotonie mithilfe des limes gegen 0+ (-∞) und 0- (+∞) bestimmt.

Das geht für sehr kleine und sehr große x aber nicht im Bereich von Extrema.

Um die Art der Extremstelle rauszufinden, hätte ich x=5 in die zweite Ableitung gesetzt (=\( \frac{-20}{5^7} \)) und da das negativ ist, wäre es doch ein relatives Maximum.

Du hast vollkommen recht. Die Musterlösung ist falsch.

Und woher kommt x=6??

f ''(x)=\( \frac{20(x-6}{x^7} \) hat eine Nullstelle bei x=6. Dort liegt ein Wendepunkt.

Comments

Um welche Funktion geht es?

In Zeile 1 steht was anderes als in der Lösung.

---

\( \begin{aligned} &  &  & \frac{x-4}{x^{5}}\\ & \text{Bruchrechenregeln} & = & \left(x-4\right)\cdot\frac{1}{x^{5}}\\ & \text{Definition negative Exponenten} & = & \left(x-4\right)\cdot x^{-5}\\ & \text{Distributivgesetz} & = & x\cdot x^{-5}-4\cdot x^{-5}\\ & \text{Potenzgesetze} & = & x^{1+\left(-5\right)}-4\cdot x^{-5}\\ & \text{Addtion von ganzen Zahlen} & = & x^{-4}-4\cdot x^{-5} \end{aligned}\)

---

Oha! Fies ...

:-))