Lineare Abbildung bestimmen aus f(-1,2,1)=(1,-1), f(1,0,-2)=(2,-1)..

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( f(-1,2,1)=(1,-1), f(1,0,-2)=(2,-1) \), \( f(-2,-3,5)=(-3,5) \), d.h. geben Sie die Matrix \( M(f) \) an. Warum gibt es eine solche Abbildung?

Answer 1

Mit M = [a, b, c; d; e; f] folgt

-a + 2·b + c = 1
a - 2·c = 2
- 2·a - 3·b + 5·c = -3

Lösung: a = -20 ∧ b = -4 ∧ c = -11

-d + 2·e + f = -1
d - 2·f = -1
- 2·d - 3·e + 5·f = 5

Lösung: d = -1 ∧ e = -1 ∧ f = 0

Es gibt eine solche Abbildung weil die Koeffizientenmatrix linear unabhängig ist. Damit muss es immer eine Lösung geben.