B_ϑ_B ? B besteht aus 3 Matrizen? , Zeigen das ϑ:V-->V:A-->SA-AS lineare Abbildung ist? gerne vor mo.1:00Uhr:)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den reellen Vektorraum \( V:=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a+d=0\right\} . \) Die Basis
\( B: B_{1}, B_{2}, B_{3} \) von \( V \) ist gegeben durch die Matrizen \( B_{1}:=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad B_{2}:=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right) \)
und \( B_{3}:=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) . \) Wir verwenden \( S:=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right) \in V \) zur Definition der Abbildung
\( \varphi: V \rightarrow V: A \mapsto S A-A S \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) eine lineare Abbildung ist und bestimmen Sie die Matrix \( _{B} \varphi_{B} \).

Problem/Ansatz:

1) hier ist ja sozusagen B=A. Also ich muss B in die Abbildungsvorschrift einsetzten, um die ϑ_Bzu bekommen.

B besteht aber aus 3 Matrizen. Kann ich irgendeine Basismatrix aus B wählen? , z.B B₁ und nur mit ihr arbeiten? Was ist mit den anderen? weil B ist ja eigentlich dann nicht komplett eingesetzt.  Oder muss ich alle 3 jeweils einsetzten, dann bekommen ich aber auch 3 Abbildungsmatrizen. Es soll doch nur eine Matrix am Ende dastehen?

2)Bei A= B (B₁₎ hab ich eingesetzt das raus:

4	0
0	-4

Also ϑ_B

3) Das bzgl. B wieder ( hier B₁) ergab:

4	0
0	-4

=\( \begin{pmatrix} 4\\0 \end{pmatrix} \)=0*\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)+4*\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix} \)

und \( \begin{pmatrix} 0\\-4 \end{pmatrix} \)=-4*\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)+0*\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} -4\\0 \end{pmatrix} \)

--> B_ϑ_B=

0	-4
4	0

3)Wie ist der Ansatz richtig?

4) Wie zeige ich das ϑ eine lineare Abbildung ist?

Answer 1

Wie zeige ich das ϑ eine lineare Abbildung ist?

Einfach mit der Definition : Für alle x,y aus R und A,B aus V gilt

φ(x*A+y*B) = x*φ(A)  +  y*φ(B)

Und für die Matrix bildest du die Bilder der Basisvektoren und stellst sie wieder mit der

Basis dar, also etwa φ(B1) = S*B1 - B1*S

=  4     4
  -4    -4

Und das jetzt darstellen mit B1, B2,B3 gibt

0*B1 + 4*B2 + 4*B3 , also ist die erste Spalte der Matrix

0
4
4

Dann φ(B2) = S*B2 - B2*S
=  2    4
  4    -2  
Und das jetzt darstellen mit B1, B2,B3 gibt
4*B1 + 0*B2 + 2*B3 , also weiter mit der Matrix:

0     4
4      0
4     2

und bei B3 bekomme ich φ(B2)

=  0    -2   =  -4B1 + 2B2 + 0B3
  -6    0 

also die fertige Matrix

0     4     -4
4      0    2
4     2      0

Comments

kann es sei dass für B1 und B2 in φ ein Fehler passiert ist?

Also eigentlich: B1-->

4	0
0	-4

b2-->

2	0
0	-2

---

Also aus die Basen bezogen würde dann die Matrix rauskommen:

0	0	-4
0	0	2
4	2	0

kann das sein?. Es kann natürlich auch sein, dass der Fehler bei mir liegt.

---

φ(B1) = S*B1 - B1*S

=  1    2        -      -3  -2
   -2   -3                 2   1

 =  4     4
  -4    -4     Kann keinen Fehler finden.

---

ich hab \( \begin{pmatrix} 2 &1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \) *\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \) statt \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)*  \( \begin{pmatrix} 2 &1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \)= \( \begin{pmatrix} -3 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \). Also: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \)- \( \begin{pmatrix} -3 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) Dann wär das ein Folgefehler

---

oh man, ich seh meinen Fehler jetzt. Ich hab die Matrix falsch, habe ein Minuszeichen vergessen hinzuschreiben und somit wahr alles falsch.

Sorry für den blöden Fehler