Bestimmen Sie eine Basis von Bild(phi) sowie eine Basis von Kern(phi)? (gerne vor mo. 1:00Uhr :)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den reellen Vektorraum $V:=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a+d=0\right\} .$ Die Basis
$B: B_{1}, B_{2}, B_{3}$ von $V$ ist gegeben durch die Matrizen $B_{1}:=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad B_{2}:=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right)$
und $B_{3}:=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) .$ Wir verwenden $S:=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right) \in V$ zur Definition der Abbildung
$\varphi: V \rightarrow V: A \mapsto S A-A S$
(a) Zeigen Sie, dass $\varphi$ eine lineare Abbildung ist und bestimmen Sie die Matrix $_{B} \varphi_{B}$.
(b) Bestimmen Sie eine Basis von Bild $(\varphi)$ sowie eine Basis von $\operatorname{Kern}(\varphi)$. Hinweis: Bild $(\varphi)=\left\{\left.A \in V\right|_{B} A \in \operatorname{Bild}(\alpha)\right\}, \operatorname{Kern}(\varphi)=\left\{\left.A \in V\right|_{B} A \in \operatorname{Kern}(\alpha)\right\}$ mit
$\alpha: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: v \mapsto_{B} \varphi_{B} \cdot v$

Problem/Ansatz:

zu der a) Es sollte $_{B} \varphi_{B}$ =

0	0	-4
0	0	2
4	2	0

rauskommen.

zu der b)

Ich hab keinen Plan. Das verwirrt mich zu sehr.

Ich hab jetzt nur mal die Abbildung α berechnet. Weiß aber nicht was das mir bringt und ob es richtig ist.

$\begin{pmatrix} 0& 0 &-4\\ 0& 0&2\\4&2&0\end{pmatrix}$ * $\begin{pmatrix} v1\\v2\\v3 \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix} -4v3\\2v3\\4v1+2v2 \end{pmatrix}$