Aufgabe:
Wir betrachten den reellen Vektorraum \( V:=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a+d=0\right\} . \) Die Basis
\( B: B_{1}, B_{2}, B_{3} \) von \( V \) ist gegeben durch die Matrizen \( B_{1}:=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \quad B_{2}:=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right) \)
und \( B_{3}:=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) . \) Wir verwenden \( S:=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right) \in V \) zur Definition der Abbildung
\( \varphi: V \rightarrow V: A \mapsto S A-A S \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) eine lineare Abbildung ist und bestimmen Sie die Matrix \( _{B} \varphi_{B} \).
(b) Bestimmen Sie eine Basis von Bild \( (\varphi) \) sowie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(\varphi) \). Hinweis: Bild \( (\varphi)=\left\{\left.A \in V\right|_{B} A \in \operatorname{Bild}(\alpha)\right\}, \operatorname{Kern}(\varphi)=\left\{\left.A \in V\right|_{B} A \in \operatorname{Kern}(\alpha)\right\} \) mit
\( \alpha: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: v \mapsto_{B} \varphi_{B} \cdot v \)
Problem/Ansatz:
zu der a) Es sollte \( _{B} \varphi_{B} \) =
rauskommen.
zu der b)
Ich hab keinen Plan. Das verwirrt mich zu sehr.
Ich hab jetzt nur mal die Abbildung α berechnet. Weiß aber nicht was das mir bringt und ob es richtig ist.
\( \begin{pmatrix} 0& 0 &-4\\ 0& 0&2\\4&2&0\end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} v1\\v2\\v3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -4v3\\2v3\\4v1+2v2 \end{pmatrix} \)
