Aufgabe:
(a) Wir betrachten die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), die durch
\( \varphi\left(\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \\ 0 & -7 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] \)
definiert ist.
(i) Bestimmen Sie den Kern von \( \varphi \) und geben eine Basis für den Kern an.
(ii) Bestimmen Sie das Bild von \( \varphi \) und geben eine Basis für das Bild an.
(iii) Verifizieren Sie mit Ihren Ergebnissen aus (i) und (ii) die Gleichung
\( \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{Kern}(\varphi)+\operatorname{dim} \operatorname{Bild}(\varphi) \)
(b) Es seien \( f, g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) zwei lineare Abbildungen mit \( \operatorname{Kern}(f)=\operatorname{Kern}(g) \) und \( \operatorname{Bild}(f)= \) Bild \( (g) \). Folgt daraus \( f=g ? \)
Ansatz/Problem:
also beim Teil ai) hab ich als Kern [0,0,0] raus bekommen, wie bestimme ich jetzt die Basis?
Beim Teil ii) bräuchte ich auch Hilfe, da ich aus der Definition nur verstehe, dass es irgendwie mit den Spalten zu tun haben muss.
