Wie man für "Offenheit von \(M\)" vorgeht: Ist \(f\in M\), dann musst du dir überlegen, ob alle "genügend nahen" \(g\) ebenfalls in \(M\) sind. Mit "genügend nahe" meine ich: Es existiert ein \(\varepsilon>0\), sodass \(\sup |f-g|<\varepsilon\). Intuitiv: Nahegelegene Funktionen haben keine allzugroße Abweichungen in ihren Funktionswerten. Für deine Mengen also: Wenn \(f\) konstant ist, sind dann auch alle nahegelegenen \(g\) konstant? Intuitiv nein, wenn du irgendwo einen kleinen "bump" einbaust. etc.
Für Abgeschlossenheit fragst du dich am besten, ob das Komplement offen ist: Wenn \(f\) nicht konstant ist, sind dann auch alle genügend nahen \(g\) ebenfalls nicht konstant? Intuitiv ja, denn wenn du eine sehr "wobbelige" Funktion hast, dann musst du eine bestimmte Menge an Veränderungen durchführen, um die Funktion "geradezurücken". Wenn du das \(\varepsilon\) so klein wählst, dass du diese Veränderungen nicht machen kannst, kann keine genügend nahe Funktion konstant sein.
Für Beschränktheit: Können Funktionen mit beliebig hohen Funktionswerten in \(M\) liegen? In Beispiel a) sehr einfach mit nein zu beantworten, denn du kannst ja konstane Funktionen mit beliebig hohen Werten wählen.
Für die beiden anderen Mengen fragst du dich am besten einmal ganz genau, wie diese Mengen explizit aussehen. Welche stetigen Funktionen \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\) sind denn beschränkt? Und welche Funktionen sind differenzierbar und erfüllen diese Differenzialgleichung?
