Funktionsgleichung aufstellen bei Funktion 3. Grades mit drei gegebenen Punkten?

Question

Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch die Punkte P1 (6/15) , P2 (2/3) und schneidet die y-Achse bei y = - 15, ferner hat er bei x = 1 einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.

Answer 1

Rein von der Überlegung her muss man wohl mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren arbeiten, um das a, das b & das c herauszufinden. das absolute glied liegt bei -15.

I: 3 = a*2³ + b*2² + c*2 - 15

II: 15 = a*6³ + b*6² + c*6 - 15

III: 0 = a*1³ + b*1² + c*1 -15

 

Da bei mir das Gaußsche Eliminationsverfahren aber schon eine weile zurück liegt (ca. 2 Jahre) und ich jetzt auch nix falsches schreiben möchte, bitte ich jemand anderes, die genaue schrittfolge hier aufzuschreiben.

Ich hoffe, ich konnte trotzdem etwas weiterhelfen,

MfG gast11

Answer 2

Auch wenn die Wahrscheinlichkeit groß ist, dass das Problem sich inzwischen geklärt hat, ich werd die Aufgabe mal zu Ende rechnen :)

Allgemeine Form: f(x) = a*x^3+b*x²+c*x+d

 

Daraus folgen, wie gast11 schon richtig geschrieben hat, die drei Gleichungen:

 

(I): 3 = 8a + 4b + 2c - 15

(II): 15 = 216a + 36b + 6c - 15

(III): 0 = a+b+c - 15

Im folgenden Forme ich das System um, um die Lösung für a, b und c zu finden.

(I): 18 = 8a + 4b + 2c

(II): 30 = 216a+36b+6c

(III): 15 = a+b+c

 

(I): 9 = 4a + 2b + c

(II): 5 = 36a + 6b + c

(III): -15 = -a - b - c

 

(I)+(III) : -6 = 3a + b      (IV)

(II)+(III): -10 = 35a + 5b   (V)

 

(V): -2 = 7a + b

(V): 2 = -7a - b

 

(V)+(IV): -4 = -4a

=> a=1

(V) => b = -9

(I) => c = 23

 

Also lautet die vollständige Funktionsgleichung:
 

f(x) = x³ - 9x² + 23x - 15

Comments

Und die Probe zeigt, dass es richtig ist, sehr schön!

Funktionsgleichung: f(x) = x³ - 9x² + 23x - 15

Probe der Punkte:
f(6) = = 6³ - 9*6² + 23*6 - 15 = 15
f(2) = 2³ - 9*2² + 23*2 - 15 = 3

Schneidet die y-Achse bei y = -15, also:
f(0) = 0³ - 9*0² + 23*0 - 15 = -15

bei x = 1 einen Schnittpunkt mit der x-Achse, also
f(1) = 1³ - 9*1² + 23*1 - 15 = 0