Wie bestimmt man die Steigung einer Urpsrungsgeraden, sodass sie das Schaubild nur ein weiteres mal schneidet?

Question

habe eine Aufgabe bei der ich mir unsicher bin und hoffe auf eure Hilfe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= -1/9 x^{3} + x^{2}
Eine Ursprungsgerade soll so konstruiert werden, dass sie das Schaubild nur noch ein weiteres Mal außer dem Ursprung berührt/schneidet. Dazu soll die Steigung festgelegt werden.

Mein Ansatz war erst mal yt= f ' (x0) (x-x0) + f(x0) mit dem Punkt (0/0)
Komme dann                     auf x1= 0 und x2= 4,5

Q(4,5/10,125) und m= f ' (4,5) = 2,25
dann wäre  y=mx+b      ------->   10,125=2,25 * 4,5 +b und die Gleichung y=2,25x

Ist das so richtig? Und ist es allgemein genug oder gäbe es weitere mögliche Gleichungen?
;) LG

Answer 1

stimmt, kannst ja die
Probe machen, die schneiden sich nur bei x=0 und bei x=4,5

Answer 2

Vielleicht nocheinmal in mathematischer Klarheit

f ( x ) = -1/9 * x³ + x²
g ( x ) = m * x

f ´( x ) = -1/3 * x^2 + 2 * x
g ´( x ) = m

Berührpunkt
f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´( x )

Schnittpunkte
-1/9 * x³ + x² = m * x  => x = 0

-1/9 * x^2 + x = m
-1/3 * x^2 + 2 * x = m 

-1/9 * x^2 + x = -1/3 * x^2 + 2 * x
x = 0
x = 4.5

( 0  | 0 )
( 4.5  | 10.125 )

f ´ ( 4.5 ) = 2.25
g  ( x ) = 2.25 * x

Nachtrag : ich bin jetzt schon eine ganze Weile am überlegen warum
die Lösung nicht so ganz stimmt bzw. sie stimmt zwar aber
f ´( 0 ) = 0 aber g ´ ( 0 ) = 2.25

Eine Ursprungsgerade soll so konstruiert werden, dass sie das Schaubild
nur noch ein weiteres Mal außer dem Ursprung  berührt/schneidet. Dazu
soll die Steigung festgelegt werden.

Sprachlich ganz klar :
sie berührt/schneidet sowohl im Ursprung als auch in 1 weiterem Punkt.
Ein weiteres Mal bedeutet : der Fall ist schon eingetreten.

Gemeint war : sie schneidet im Ursprung nur und berührt/schneidet in
1 weiterem Punkt.

Also : nicht so ganz richtig formuliert.