Zahl, die wenig von 1 abweicht, quadrieren

Question

Ich soll zeigen, dass

(1 +/- a)² ≈ 1 +/- 2a

ist, wenn a klein ist.

Ist mein folgender Beweis richtig?

lim    (1+/- a)² = lim    (1 +/- 2a + a²)     --> 1 +/- 2a

(a-->0)                (a-->0)                -->0

(Ich wusste nicht, wie ich das hier mit dem Limes eingeben soll. Ich hoffe man kann es so erkennen. Das "--> 0" bezeiht sich auf das a²)

ODER

kann ich es auch so schreiben:

a² klein, da a klein

(1+/- a)² = 1 +/- 2a + a² ≈ 1 +/- 2a

( "a² klein, da a klein" soll über "≈" stehen)

Des Weiteren soll gezeigt werden, dass der prozentuale Fehler umso kleiner wird, je näher die Zahl bei 1 liegt.

Also ist zu zeigen, dass     a₁ < a₂    =>    a₁²/(1 +/- a₁)² < a₂²/(1 +/- a₂)²     mit a > 0

Meine Idee:

a₁ < a₂     <=>     1+ a₁ < 1 + a₂     <=>        (1+ a₁)² < (1 + a₂)²

So, und da komme ich nicht weiter.

Schon mal vielen Dank für die Hilfe!!!

Answer 1

Hi,

 

Dein erster Versuch ist nicht sonderlich gut, da wenn a gegen 0 strebt, das auch für den linearen Teil gilt und Du dann einfach 1 stehen hast.

 

Die zweite Variante findet meine Zustimmung.

 

Zum prozentualen Teil...hier arbeite mit dem Limes. Für dem lim_a->0 kannst Du den Quotienten von (1±2a)/(1±a)² bestimmen.

Mit eben genannten Limes wird der Ausdruck 1 werden und damit liegt nur kleinste/keine Abweichung vor.

 

Grüße