Zeige, dass für alle x, y ∈ ℝ das Additionstheorem gilt: … Bestimme die Potenzreihendarstellung von sinh(x).

Question

Gegeben sind:

\( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \) (Sinus hyperbolicus)

\( \cosh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \) (Cosinus hyperbolicus)

Zeige, dass für alle x, y ∈ ℝ das Additionstheorem gilt:

\( \sinh (x+y)=\sinh (x) \cdot \cosh (y)+\cosh (x) \cdot \sinh (y) \)

Bestimme desweiteren die Potenzreihendarstellung von sinh(x).

Comments

Der erste Teil der Aufgabe ist doch nur einsetzen?

Für den zweiten Teil: Nutze die Potenzreihendarstellung der e-Funktion ;).

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Ich habe jetzt durch Einsetzen die Gleichheit gezeigt. Aber das mit der Potenzreihendarstellung verstehe ich nicht?? :)

Answer 1

Hi Albert,

der erste Teil ist ja nun klar, dann zum zweiten Teil.

Setze direkt für die e-Funktionen die Potenzreihendarstellung der e-Funktion ein:

$$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n - \sum \frac{1}{n!} (-x)^n}{2}$$

Das schau Dir jetzt mal an. Es ist doch so, dass für gerade Exponenten alle Summenglieder sich wegheben. Für ungerade Summenglieder addieren sich aber die beiden Summen. Das kann man dann auch schreiben als:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1}$$

Dabei kürzt sich die 2 aus dem Nenner mit der "Verdopplung" der Summe. k wurde gewählt (mit n = 2k+1), damit wir nur die ungeraden Komponenten nehmen und die unnötigen geraden Komponenten weglassen können.

Grüße