Da du selbst gesagt hast, dass die ersten beiden Teilaufgaben kein Problem darstellen, widme ich mich mal der letzten.
$$f(z) = \frac{(2-i) z + 3 + 3i}{-z^2 - (1+2i)z + 1-i} $$
An sich könntest du die Entwicklung natürlich einfach durch eine Taylorentwicklung vornehmen, also die Ableitungen f(n)(z) der Funktion bestimmen und die Funktion gemäß
$$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z)}{n!} z^n$$
darstellen, allerdings ist das nicht so praktisch - es ist eher schwer, die n-te Ableitung einer Funktion für beliebiges n auszurechnen.
Stattdessen verwendest du, die folgende Reihe:
$$\sum_{k=0}^n z^k = \frac{1-z^{k+1}}{1-z},$$
deren Wert man leicht mittels vollständiger Induktion beweisen kann. Für |z|<1 gilt nun
$$\lim_{k\rightarrow \infty} z^{k+1} = 0$$
sodass für den Grenzwert der Reihe
$$\sum_{k=0}^\infty z^k = \frac{1}{1-z} $$
folgt. Nun kann man die gegebene gebrochenrationale Funktion f in ihre Partialbrüche zerlegen und dann jeweils die genannte Formel anwenden.
Finden wir also zunächst die Polstellen von f bzw. die Nullstellen des Nenners.
$$0 = -z^2 - (1+2i) + 1-i$$
$$0 = z^2 + (1+2i)z - 1+i$$
$$z_{1/2}= -\frac{1+2i}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1+2i}{2}\right)^2 + 1-i}\\ \ \ \ \ \ \ = -\frac{1+2i}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + 4i - 4 + 4 - 4i}{4}}\\ \ \ \ \ \ \ = -i - \frac{1\pm 1}{2}$$
oder mit anderen Worten:
$$z_1 = -i \\ z_2 = -1-i$$
Die Funktion lässt sich also folgendermaßen schreiben:
$$\frac{(2-i) z + 3 + 3i}{-z^2 - (1+2i)z + 1-i}=\frac{A}{z+i} + \frac{B}{z+1+i}$$
wobei die Koeffizienten A und B noch zu bestimmen sind. Multipliziert man die gesamte Gleichung mit dem Nenner durch, so erhält man
$$(2-i)z + 3 + 3i = -A*(z+1+i) - B*(z+i) \\ (2-i)z + 3 + 3i = -(A+B) z - A(1+i)-Bi$$
Damit die Gleichung in allen vorkommenden Potenzen von z korrekt ist, muss also
$$ -2+i = A+B \\ -3-3i = A(1+i) + Bi$$ gelten.
Nimmt man die erste Gleichung mit (1+i) mal und subtrahiert die zweite Gleichung, dann findet man
$$(1+i)*(-2+i) +3 + 3i = (1+i)B -iB$$
oder
$$-2 - 2i +i - 1 + 3 + 3i = B \\ B = 2i$$
Damit findet man $$A = -2-i$$, sodass insgesamt gilt
$$f(z) = \frac{-2-i}{z+i} + \frac{2i}{z+1+i}$$
Nun müssen die Nenner in die Form umgewandelt werden, in der die Reihendarstellung verwendet werden kann:
$$\frac{1}{z+i} = \frac{1}{i} \frac{1}{1-iz} = -i \sum_{k=0}^\infty (iz)^k \\ \frac{1}{1+i+z} = \frac{1}{1+i} \frac{1}{1- \frac{-z}{1+i}} = \frac{1}{1+i} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{-z}{1+i}\right)^n$$
Setzt man das oben ein und verwendet noch $$(1+i)^{-1} = \frac{1-i}{2}$$, dann findet man insgesamt
$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left(-\left(\frac{-1+i}{2}\right)^{-1+n}-(1-2i) i^n \right) z^n$$
