Cosh(z) und Sinh(z) in Re(z) & Im(z) aufteilen

Question

Aufgabe:

Alle komplexen Lösungen z ∈ ℂ folgender Gleichung berechnen:

2*cosh(z)*(cosh(z)-sinh(z))=i

Problem/Ansatz:

Hallo miteinander,

bei der Aufgabe habe ich allgemein etwas ein Verständnis Problem wie ich hier die Aufgabe durcharbeiten kann.

Mein Ansatz ist folgender gewesen:

Umgeformt in e-Form;

2*\( \frac{e^z+e^{-z}}{2} \)*(\( \frac{e^z+e^{-z}}{2} \)-\( \frac{e^z-e^{-z}}{2} \))=i

\( e^{z} \) +\( e^{-z} \) *(\( \frac{( e^{z} ) +( e^{-z})-( e^{z} ) -( e^{-z})}{2} \) )=i

Weiter weiß ich leider nicht wie ich vorgehen soll..

Am ende müsste ich dann etwas stehen haben wie Re(z) = π/2*k mit k ∈ ℂ & Im(z) = 0 (Achtung! Das hier ist nur ein Beispiel, und ist nicht die Lösung der Gleichung oben!)

Jede hilfe ist willkommen :)

Comments

Die Klammersetzung in der letzten Zeile passt nicht.

$$ (e^{z}+e^{-z})*\frac{e^{z}+e^{-z}-(e^{z}-e^{-z})}{2}=i $$

Dann kannst du die Klammer im Zähler auflösen, zusammenfassen, kürzen, nochmals ausmultiplizieren ...

Answer 1

Aloha :)

Erst vereinfachen wir die Gleichung ein wenig$$i=2\cosh(z)\left(\cosh(z)-\sinh(z)\right)=2\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\left(\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\right)$$$$\phantom{i}=\left(e^{z}+e^{-z}\right)\left(\frac{e^{z}-e^z+e^{-z}-(-e^{-z})}{2}\right)=(e^z+e^{-z})\,e^{-z}=1+e^{-2z}$$Wir subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung die \(1\) und finden die Gleichung:$$e^{-2z}=-1+i$$Es bietet sich nun an, die rechte Seite in Polarkoordinaten zu schreiben, mit dem Ziel, den Logarithmus auf beiden Seiten leicht anwenden zu können. Dazu klammern wir rechts den Betrag aus und schreiben die entstehende Klammer mit der Euler-Gleichung als \(e\)-Funktion:

$$e^{-2z}=-1+i=\sqrt2\left(\underbrace{-\frac{1}{\sqrt2}}_{=\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)}+\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\,i\right)=\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}$$Laut Aufgabenstellung sind alle Lösungen der Gleichung gesucht, also müssen wir die Periodizät berücksichtigen:$$e^{-2z}=\sqrt2 e^{i\varphi_n}\quad;\quad\varphi_n=\frac{3}{4}\pi+2\pi\,n\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$Nun können wir den Logarithmus auf beiden Seiten anwenden:

$$-2z=\ln(\sqrt2)+i\varphi_n=\frac{1}{2}\ln(2)+i\varphi_n$$$$z=-\frac{\ln(2)}{4}-i\,\frac{\varphi_n}{2}$$$$z=-\frac{\ln(2)}{4}-i\,\left(\frac{3}{8}\pi+\pi n\right)\quad;\quad n\in\mathbb{Z}$$