Lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass (u_(1), u_(2), u_(3)) ein Erzeugendensystem des ℝ^2 ist.

Question

Im ℝ² seien die Vektoren u₁ = (1, 3), u₂ = (2, 1), u₃ = (4, 7) gegeben.

(a) Zeigen Sie, dass (u₁, u₂, u₃) ein Erzeugendensystem des ℝ² ist.

(b) Finden Sie eine lineare Abbildung f : ℝ² → ℝ² mit f(u₁) = (−2, −1), f(u₂) = (6, 3), f(u₃) = (2, 1), indem Sie f((x, y)) für beliebiges (x, y) ∈ ℝ² angeben.

(c) Gibt es eine lineare Abbildung g : ℝ² → ℝ² mit g(u₁) = (−2, −1), (u₂) = (6, 3), g(u₃) = (1, 1)?

Answer 1

Im ℝ2 seien die Vektoren u1 = (1, 3), u2 = (2, 1), u3 = (4, 7) gegeben.

1. (a)  Zeigen Sie, dass (u1, u2, u3) ein Erzeugendensystem des ℝ2 ist.

sei (a,b) aus IR2 , dann muss gezeigt werden, dass es immer  x,y,z aus IR gibt mit x*(1,3)+y*(2,1)+z*(4,7) = (a,b) klappt mit x=(2b-a)/5 und y=(3a-b)/5 und c=0

2. (b)  Finden Sie eine lineare Abbildung f : ℝ2→ ℝ2 mit

   f(u1) = (−2, −1), f(u2) = (6, 3), f(u3) = (2, 1), indem Sie f ((x, y)) für beliebiges (x, y) ∈ ℝ2 angeben.

f(x,y) = f (  (2y-x)/5 * u1  + (3x-y)/5 * u2 + 0*u3 )        = (2y-x)/5 *f( u1) + (3x-y)/5 * f(u2) + 0*f(u3)

                    =   (2y-x)/5 *( -2,-1) + (3x-y)/5 * (6,3) 

                   = ( 4x-2y ,  2x-y)

                   prüfst du für alle drei u ' s nach, stimmt.

1. (c)  Gibt es eine lineare Abbildung g : ℝ2 → ℝ2 mit

   g(u1) = (−2, −1), g(u2) = (6, 3), g(u3) = (1, 1)?

Der gleiche Ansatz wie bei 2 zeigt, bei g(u3) gibt es (2, 1) stimmt also nicht.

2. (d)  Bestimmen Sie im(f) und ker(f), indem Sie für beide Untervektorräume Basen angeben. Was ist der Rang von f?
   

ker(f) bedeutet, für welche (x,y) ist f(x,y) = (0,0)  Gleichungssystem         4x-2y=0  und  2x-y=0           zeigt, für alle (t,2t) erfüllt. also sehen alle im Kern so aus (t,2t) = t * (1,2)   also ist (1,2) eine Basis und dim kern = 1 Bild:   alle Bildvektoren sehen so aus   ( 4x-2y ,  2x-y), also im 1. Komponente = 2* 2. Komponente also  ( 2t, t ) = t (2,1). Damit ist (2,1) eine Basis vom Bild und dessen dim=1 und das ist auch der Rang, der ist immer dim vom Bild.