Im ℝ2 seien die Vektoren u1 = (1, 3), u2 = (2, 1), u3 = (4, 7) gegeben.
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(a) Zeigen Sie, dass (u1, u2, u3) ein Erzeugendensystem des ℝ2 ist.
sei (a,b) aus IR2 , dann muss gezeigt werden, dass es immer
x,y,z aus IR gibt mit x*(1,3)+y*(2,1)+z*(4,7) = (a,b)
klappt mit x=(2b-a)/5 und y=(3a-b)/5 und c=0
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(b) Finden Sie eine lineare Abbildung f : ℝ2→ ℝ2 mit
f(u1) = (−2, −1), f(u2) = (6, 3), f(u3) = (2, 1), indem Sie f ((x, y)) für beliebiges (x, y) ∈ ℝ2 angeben.
f(x,y) = f ( (2y-x)/5 * u1 + (3x-y)/5 * u2 + 0*u3 )
= (2y-x)/5 *f( u1) + (3x-y)/5 * f(u2) + 0*f(u3)
= (2y-x)/5 *( -2,-1) + (3x-y)/5 * (6,3)
= ( 4x-2y , 2x-y)
prüfst du für alle drei u ' s nach, stimmt.
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(c) Gibt es eine lineare Abbildung g : ℝ2 → ℝ2 mit
g(u1) = (−2, −1), g(u2) = (6, 3), g(u3) = (1, 1)?
Der gleiche Ansatz wie bei 2 zeigt, bei g(u3) gibt es (2, 1) stimmt also nicht.
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(d) Bestimmen Sie im(f) und ker(f), indem Sie für beide Untervektorräume Basen angeben. Was ist der Rang von f?
ker(f) bedeutet, für welche (x,y) ist f(x,y) = (0,0)
Gleichungssystem 4x-2y=0 und 2x-y=0 zeigt, für alle (t,2t) erfüllt.
also sehen alle im Kern so aus (t,2t) = t * (1,2) also ist (1,2) eine Basis und dim kern = 1
Bild: alle Bildvektoren sehen so aus ( 4x-2y , 2x-y),
also im 1. Komponente = 2* 2. Komponente also ( 2t, t ) = t (2,1).
Damit ist (2,1) eine Basis vom Bild und dessen dim=1
und das ist auch der Rang, der ist immer dim vom Bild.