Vektorräume und lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und v1,...,vm. Entscheiden Sie:

falls(v1, . . . ,vm) ein Erzeugendensystem von V ist, gilt dim(Span(v1,...,vm)) größer gleich

dim(V).

Problem/Ansatz:

wieso ist diese Aussage richtig

Span= kleinster UVR der in diesem Fall den gesamten Raum V aufspannt und die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren enthält.

Das heißt es mach für mich Sinn das dim Span = dim V , aber warum gilt größer gleich

Answer 1

Weil aus \(\geq\) den Fall \(=\) doch einschließt, weshalb die Aussage korrekt ist. Nur weil der Fall \(>\) nicht auftreten kann, eben weil Gleichheit gilt, wird dadurch die Aussage nicht falsch.

Solche Aussagen sind oft so konzipiert, dass man genau lesen muss.

Leichteres Beispiel:

Die Aussage \(5\geq 2\) ist ja auch richtig, obwohl \(5>2\) gilt. Andererseits ist aber auch \(5\geq 5\) richtig, denn \(5=5\). Die Aussage \(5>5\) hingegen ist falsch.