Aufgabe:
Gegeben seien die Vektoren:
$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} $$ aus dem ℝ³
a.) Bestimmen Sie den Untervektorraum U, der durch v1 v2 erzeugt wird.
b.) Welche Dimension hat U ?
Problem/Ansatz:
a.) $$span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} ) = span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ) = span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ,(-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = span(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} | x,y \in \mathbb R \right\} = U$$
b.) dim U = 2, weil beide vektoren linearunabhängig sind.
Stimmt das so ?
