b)Gibt es eine lineare Abbildung Φ: U→W mit Φ(ui)=wi für 1≤i≤3?

Question

Folgende Aufgaben verstehe ich nicht:

Es seien Vektoren im Vektorraum R^4 die Vektoren

u1=(1,2,3,4) u2=(1,-1,1,-1) u3=(0,2,-1,5)

w1=(0,0,1,0) w2=(0,3,2,5) w3=(1,2,0,4)

Sowie U1=<u1,u2,u3> und W=<w1,w2,w3> gegeben.

a) Sind die jeweiligen Erzeugendensystem von U (bzw. W) auch eine Basis von U (bzw. W)

b)Gibt es eine lineare Abbildung Φ: U→W mit Φ(ui)=wi für 1≤i≤3? Falls ja, ist Φ injektiv, surjektiv oder bijektiv?

c) Welche Dimension hat U+W und U∩W?

Answer 1

a)  Setze jeweils die drei Vektoren als

Spalten in eine Matrix für

ein homogenes lin. Gleichungssystem und

löse es. Die einzige Lösung ist in beiden Fällen:

Alle drei Variablen gleich 0, also

sind sie lin. unabh. und somit

eine Basis für U bzw. W.

b) Durch Vorgabe der Bilder für die

Vektoren einer Basis ist eine lin. Abb. eindeutig

bestimmt. Das geht also. Und

das Bild dieser Abbildung ist dann W.

Da U und W beide Dimension 3 haben ist die

Abbildung bijektiv.

c) U+W: setze alle 6 Vektoren in eine Matrix wie bei a).

Gauss-Algorithmus zeigt dann dim=4

Dimensionssatz liefert also dim ( U∩W )  = 2

Comments

Könnten Sie eventuell a näher erläutern? Ich verstehe jetzt das jetzt nicht so genau, also wenn das in Ordnung für Sie ist.

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Und ist das, was Sie zu b aufgeschrieben haben, sozusagen die Lösung?

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Schreibe doch das Gleichungssystem zu a) mal auf

und forme es um und poste das Ergebnis.

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Bekomme da nicht null raus.

Also habe bis jetzt Folgendes:

w+2x+3y+4z=0

w-x+y-z=0

2x-y+5z=0

Dann habe ich die erste gleichung mal (-1) genommen und die erste mit der zweiten addiert. Die dritte habe ich so gelassen. Dann steht bei mir:

-3x-2y-5z=0

2x-y+5z=0.

Beides habe ich adidert und bekomme raus:

-x-3y=0 raus. Das nach x aufgelöst: x=-3y

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Du musst doch eine Linearkombination der

drei Vektoren bilden, also

x*(1,2,3,4)+y*(1,-1,1,-1)+z*(0,2,-1,5)=(0,0,0,0)

Das gibt

x + y      =0
2x - y + 2z =0
3x + y - z =0
4x -y + 5z = 0

Da gibt die erste x = - y. Das bei den

anderen 3 Gleichungen einsetzen

-3y + 2z =0
2y - z =0
 -5y + 5z = 0

und aus der 2. gibt das z=2y . Einsetzen bei (1) und (3)

-3y + 4y =0    ==>     y = 0 
-5y + 10y = 0    ==>   5y=0   ==>   y=0 

und jetzt zurück einsetzen gibt x=z=0.

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Oh ja, stimmt...habs jetzt auch.

Könnten Sie mir eventuell Nummer b nochmal erläutern? Also ich verstehe das nicht so. Also wenn das in Ordnung für Sie ist.

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Wie gehe ich weiterhin vor also bei Dimension U+W

a(1,2,3,4)+b(1,-1,1,-1)+c(0,2,-1,5)+d(0,0,1,0)+e(0,3,2,5)+f(1,2,0,4)=(0,0,0,0)

Das ergibt:

a+b+f=0

2a-b+2c+3e+2f=0

3a+b-c+d+2e=0

4a-b+5c+5e+4f=0

Habe die zweite mit 2 mulitpliziert und sie dann mit der vierten addiert. Da bekomme ich raus:

b+c-e=0.

Muss ich das dann nach einer Variablen formen und dann in einer Gleichung einsetzen oder wie?

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Hi, hast du raus wie man b) berechnet? Ich kriege raus, dass das Bild W ist weiß danach aber nicht mehr weiter