lineare Abbildung Φ(v) = A*v von m->n, zeige es gibt eine Matrix A so das dies für jeden Vektor v der Dimension m gilt.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist n,m∈ℕ und Φ:ℝ^m→ℝⁿ eine lineare Abbildung. Zu zeigen, dass die Matrix A∈ℝ^m×n gibt, sodass Φ(v) = A*v für alle v∈ℝ^m gilt.

Die Aufgabe soll als Beweis einer Bemerkung dienen, der da lautet:

Sei Φ:ℝ^m→ℝⁿ eine lineare Abbildung. Definiere A∈ℝ^m×n durch A:= (a₁/a₂/.../a_m) mit a_i:=Φ(e_i) mit e_i=i-ter Einheitsvektor, dann gilt Φ=Φ_A

Problem/Ansatz:

Also was mir soweit klar ist, dass A*v immer ℝⁿ ergibt. Ganz genau verstehe ich nicht was ich genau beweisen soll. Die Aussage der Aufgabe erscheint mir völlig offensichtlich zu sein. Ich bin gerade völlig verloren, die Bemerkung verwirrt mich mehr, als sie mir nützt.
Was mir noch klar ist, dass a₁ - a_m immer den Wert auf der Diagonale von A hat.

Über etwas Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Mit besten Grüßen
Chakly