Wurzelterm mehrfach umformen

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}} \) 
Problem/Ansatz:

Stimmen die Umformungen und wenn ja was wurde dabei gemacht?

Answer 1

Aloha ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Die Umformung ist super aufgepustet. Du kannst das eigentlich sofort hinschreiben. Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:

$$\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}=1\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$$

Jetzt erkennst du auch, dass die Umformung nicht ganz korrekt ist, bei dir steht im Nenner ein \(X^2\).

Zu den Umformungen in dienem Posting...

$$\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{1+x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}$$Das \(x\) wurde zu \(\sqrt{x^2}\) umgeformt. Das ist die Stelle, an der wir \(x>0\) fordern müssen. Danach wurde \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) verwendet, um den Bruch unter eine große Wurzel zu schreiben. Weiter gehts:

$$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\frac{\sqrt{1^2}}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\sqrt{1\cdot\frac{1+x^2}{x^2}}=\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2}}\ne\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}$$

Wieder wurde die Wurzel über den gesamten Quotienten geschrieben. Unter der Wurzel wurde dann durch den Bruch \(\frac{x^2}{1+x^2}\) dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wurde. Bis auf einen kleinen Bug am Ende, stimmen deine Umformungen.

Comments

Leider bezieht sich beim letzten Bruch beim Fragesteller die Wurzel nur auf den Zähler, nicht wie von dir angegeben auf den ganzen Bruch. Mit einem x im Nenner wäre es zum ersten Bruch richtig gewesen. Und für x>0 wäre alles ok.

---

\(x>0\) hatte ich auch schon erwähnt. Mir war aber irgendwie nicht aufgefallen, dass in der angegebenen Lösung im Nenner ein \(x^2\) statt eines \(x\) stand... Vermutlich weil ich im Hinterkopf noch mit unserem neuen Antwort-Troll beschäftigt war.

Danke dir für den Hinweis, ich habe was dazu ergänzt, damit hier nichts Falsches steht ;)

Answer 2

\( \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}} \) 

Das x wurde unter die Wurzel als x^2 geholt, dabei gehen aber die Informationen über das Vorzeichen verloren, es stimmt also nur für x>0 für x=0 war die Funktion so wieso nicht definiert. Doch für x<0 ist der Bruch falsch.

\( \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}} \)

Diese Umformung stimmt nicht. Das x^2 im Nenner hätte ein x sein müssen, dann wäre die Umformung im Hinblick auf die Ursprungsform richtig, ich dividiere durch einen Bruch, indem ich mit dem Kehrwert multiplizieren.