Zeigen Sie, dass φ linear ist, wenn es eine Additive Abbildung ist.

Question

Aufgabe:

Seien V, W zwei ℚ-Vektorräume. Sei φ : V → W eine additive Abbildung, d.h.
φ(v1 + v2) = φ(v1) + φ(v2) für alle v1, v2 ∈ V . Zeigen Sie, dass φ dann linear ist.

Problem/Ansatz:

Wenn ich zeigen will, dass eine Abbildung linear ist, muss ich ja zeigen, dass die Abbildung additiv und homogen ist. Mit der Annahme dass die gegebene Abbildung ja eine additive Abbildung ist, ist ja dieser Beweis für die Additivität trivial, da das ja schon die Voraussetzung ist.

Wie beweise ich jetzt aber die Homogenität. (Zudem hat diese Aufgabe 4 Punkte, weshalb ich nicht wirklich weiß wie diese hier zustande kommen bzw. für was die verteilt werden)

Answer 1

Versuche mal die Homogenität für Elemente von Q aus der

Additivität herzuleiten. Zeige also φ(q*v)=q*φ(v)

Also etwa φ(2*v) = φ(v+v)=φ(v)+φ(v)=2φ(v).

Mittels vollständiger Induktion kannst du so zumindest für

alle natürlichen Zahlen n zeigen φ(n*v)=n*φ(v).

Dann φ(Nullvektor)=Nullvektor weil

φ(Nullvektor)=φ(Nullvektor+Nullvektor)

=φ(Nullvektor)+φ(Nullvektor)

Damit bekommst du die Homogenität auch für 0.

Für die negativen zeigst du es für die -1 über

Nullvektor=φ(Nullvektor)=φ(v+(-v))=φ(v)+φ(-v)

und hast es dann schonmal für q∈ℤ.

Für Stammbrüche bekommst du es hin, wenn du bedenkst

\( v =   \frac{1}{n}\cdot v + \dots +\frac{1}{n}\cdot v  \)

und das ist eine Summe mit n Summanden auf die du

die Additivität anwendest.

Dann ist auch sowas wie \( \varphi(  \frac{m}{n}v ) \) zu machen.

Damit hättest du es für alle q∈ℚ.