Bestimmen Sie jeweils, ob die gegebene Abbildung f ℝ -linear ist.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils, ob die gegebene Abbildung \( f \mathbb{R} \)-linear ist.
1. \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathbf{x})=\binom{x_{1}-2 x_{2}}{x_{1}+x_{3}} \).
2. \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x)=\binom{2^{x}}{5 x} \).
3. \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathbf{x})=\binom{x_{2}+2}{x_{1}+1} \).
4. \( f: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x], f(P(x))=x^{2} \cdot P(x) \).
5. \( f: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x], f(P(x))=P(2 x) \).

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe hier unter anderem auch eine Verständnisfrage. Zu beweisen ist ja für jede Teilaufgabe die Homogenität und Additivität. Jetzt verstehe ich aber nicht wie man die Gleichungen betrachten soll. Ich verstehe nicht wo sich die Vektoren befinden, ist das alles ein Vektor? Oder stellt jedes x jeweils einen Vektor dar? Kann mir das jemand ausführlich erklären, wo ich da jetzt einen Vektor erkennen soll? Und gerne auch die Aufgabe lösen für mich damit ich es schonmal sicherheitshalber gelöst hab, wenn das dann nicht zu viel verlangt ist. Vielen Dank im voraus!

Answer 1

\(\bf x\) ist ein Vektor, je nach Defbereich von \(f\) in \(\R^3\) bzw. \(\R^2\).

Eine Abb. \(f:\R^n\rightarrow \R^m\) ist linear \(\iff\) es gibt eine \(m\times n\) Matrix \(A\) mit \(f({\bf x})=A{\bf x}\) gilt.

Heißt, wenn es so eine Matrix nicht gibt, ist \(f\) auch nicht linear. In der Matrix dürfen nur Konstanten (Zahlen) stehen, nichts mit \(x\).

Damit solltest Du mindestens loslegen können, wenn nicht das meiste lösen.

Comments

Text erkannt:

nen sie jewells, ob dıe gegebene Abbılung
Aufgabe:
Bestimmen Sie jeweils, ob die gegebene Abbildung \( f \mathbb{R} \)-linear ist.
1. \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathbf{x})=\left(\frac{x_{1}-2 x_{2}}{x_{1}+x_{3}}\right) \rightarrow\left(\rightarrow\binom{x_{1}}{x_{Q}}\right. \)
2. \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x)=\binom{2^{2}}{5 x} \).
3. \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathbf{x})=\binom{x_{2}+2}{x_{1}+1} \).
4. \( f: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x], f(P(x))=x^{2} \cdot P(x) \).
5. \( f: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x], f(P(x))=P(2 x) \).
Problem/Ansatz:

Ist das dann ein Vektor? Oder sind es zwei verschiedene? Wie gesagt ich verstehe noch nicht, wo ich da den Vektor sehen soll xD

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In der ersten Aufgabe ist \({\bf x}=(x_1, x_2, x_3)^T\) (siehe Defbereich!), wobei \(x_i\in\R\). Beachte Def- und Wertebereich, daran siehst Du ja, um welche Vektoren es geht.

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Jetzt habe ich es verstanden! Ist es richtig dass die Aufgabe 1.2 keine lineare Abbildung ist? Und die Aufgabe 1.3 auch nicht?

Text erkannt:

Sufale 1
[1 \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x)=\binom{x_{1}-2 x_{2}}{x_{1}+x_{3}} \)
\( f(\lambda)=A x \Leftrightarrow\binom{x_{1}-2 x_{2}}{x_{1}+x_{3}}=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right) \)

Matia bestirmen um linearital zu bewisen
\( \begin{aligned} & x_{1}-2 x_{2}=x_{1} a_{11}+x_{2} a_{12}+x_{3} a_{13} \\ \Rightarrow & a_{11}=1, a_{12}-2, a_{13}=0 \\ & x_{1}+x_{3}=x_{11} a_{21}+x_{2} a_{22}+x_{3} a_{23} \\ \Rightarrow & a_{x 1} 1, a_{22}=0, a_{31}=1 \end{aligned} \)
somit ergitf sich dic Mahis:
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \)
\( \rightarrow \) data handell es sich hierei um sine linecure Affelclung
2] \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(x)=\binom{2^{x}}{5 x} \) Additioilal püfen:
\( \begin{array}{l} \text { z: } f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right) \\ f\left(x_{1}+x_{2}\right)=\binom{2\left(x_{1}+x_{2}\right)}{5\left(x_{1}+x_{2}\right)}=\binom{2_{1}+x_{2}}{5 x_{1}+5 x_{2}} \quad f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)=\binom{2_{1}}{5 x_{2}}+\binom{x_{x_{1}}^{x_{1}}}{5 x_{2}}=\binom{2_{1}^{x_{1}+x_{2}}}{5 x_{1}+5 x_{2}} \\ \Rightarrow f\left(x_{1}+r_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right) \checkmark \\ \end{array} \)

Hmogenibil äberninfen:
\( \begin{array}{l} z: f(a \cdot x)=a f(x) \\ f(a \cdot x)=\binom{2^{a \cdot x}}{5(a \cdot x)} \\ a f(x)=a\binom{2^{x}}{5 x}=\binom{a \cdot 2^{x}}{a \cdot 5 x} \\ f(a \cdot x) \neq a f(x) \end{array} \)
is heime lineare Afieldeng
DEFINITION 1:
Eine linear Abbildung \( f: V \rightarrow W \) ist eine \( A b b \). für welche gilt. (ii) \( f\left(v_{1}+v_{2}\right)=f\left(v_{1}\right)+f\left(v_{2}\right) \)
(ii) \( f(a \cdot v)=a \cdot f(v) \quad \forall v_{1}, v_{2}, v \in V \)
\( \square \) \( \qquad \)
\( \qquad \)
\( \qquad \)

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Klingt gut. Aber:

Zu 1.) Bei Ax steht die Matrix links. Und die Matrix liest man mit etwas Übung direkt ab (schadet aber nichts, beim ersten Mal alles ausführlich aufzuschreiben).

Zu 2.) Hier ist schon die Additivität nicht erfüllt. Ja, die Homogenität auch nicht. Als Nachweis dafür gibt man ein(!) konkretes(!) Gegenbeispiel, das die Regel verletzt. Für manche Zahlen ist die Regel nämlich vielleicht auch erfüllt, aber eben nicht für alle.

Tipp (auch für 3.): Aus der Homogenität würde zwingend \(f(0)=0\) (0 steht für den jeweiligen Nullvektor) folgen. Das kann man meist ganz schnell prüfen.

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Danke dir, wie es sieht es aber bei Aufgabe 1.3 und 1.4 aus? Da das ja unendlich viele Polynome sind kann ich keine Matrix machen

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Text erkannt:

Mahit donf milf von \( x \) athaingig sain, als nicht linear (4)

Sien \( P(x) \) and \( Q(x) \) wei Polyrome in \( \mathbb{R}[x] \). Aelbituilil:
\( \begin{array}{l} z: f(P(x)+Q(x))=f(P(x))+f(Q(x)) \\ f(P(x)+Q(x))=x^{2} \cdot(P(x)+Q(x)) \\ f(P(x))+f(Q(x))=x^{2} \cdot P(x)+x^{2} \cdot Q(x)=x^{2} \cdot(P(x)+Q(x)) . \end{array} \)

Homogeniliat:
Sei \( a \in \mathbb{R} \) und \( P(x) \) ein Folynoom in \( \mathbb{R}(x) \)
\( \begin{array}{l} \text { z: } f(a \cdot P(x))=a \cdot f(P(x)) \\ f(a \cdot P(x))=x^{2}(a \cdot P(x))=a\left(x^{2} P(x)\right) \\ a f(P(x))=a\left(x^{2} \cdot P(x)\right) \text { r } \end{array} \)
\( \rightarrow \) Affildung ist linar

Ist das richtig für die Aufgabe1.4?

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Ja, Deine Lösung zu 1.4. ist richtig.

Man merkt, Du hast es verstanden, das freut mich.

Zu den Matrizen: Es gibt unendlich viele Polynome, das ist nicht das Problem (es gibt ja auch unendlich viele Vektoren im \(\R^3\). \(\R[x]\) ist aber unendlich-dimensional, daher müsste man mit \(\infty\times\infty\)-Matrizen arbeiten.

Zu 1.5: Kannst Du so machen wie 1.4. Als Ergänzung: Betrachte mal dieselbe Abb. als \(f:P_2[x]\longrightarrow P_2[x]\), Polynome vom Grad \(\le 2\), ein dreidimensionaler Raum. Da kannst Du mit Matrizen arbeiten, also \(3\times 3\). Probier das mal - schon deshalb, weil es Dir später im Studium auch noch mal begegnen wird. Spoiler: Auch dieses \(f\) ist linear.