Ja, Deine Lösung zu 1.4. ist richtig.
Man merkt, Du hast es verstanden, das freut mich.
Zu den Matrizen: Es gibt unendlich viele Polynome, das ist nicht das Problem (es gibt ja auch unendlich viele Vektoren im \(\R^3\). \(\R[x]\) ist aber unendlich-dimensional, daher müsste man mit \(\infty\times\infty\)-Matrizen arbeiten.
Zu 1.5: Kannst Du so machen wie 1.4. Als Ergänzung: Betrachte mal dieselbe Abb. als \(f:P_2[x]\longrightarrow P_2[x]\), Polynome vom Grad \(\le 2\), ein dreidimensionaler Raum. Da kannst Du mit Matrizen arbeiten, also \(3\times 3\). Probier das mal - schon deshalb, weil es Dir später im Studium auch noch mal begegnen wird. Spoiler: Auch dieses \(f\) ist linear.