Ist diese Abbildung linear? f : R^(nxn) -> R

Question

Aufgabe:

\( f : \mathbb R^{n \times n} \rightarrow \mathbb R \), \(\:\:\: A = (a_{ij}) \rightarrow \sum_{i=1}^n a_{ii} \) (Spur einer Matrix)

Ist diese Abbildung linear?

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Kriterien, wie man Linearität überprüft, aber ich verstehe im Zusammenhang mit der Summe nicht, wie ich das dann anwenden kann.

Nehme ich mir dafür zwei Elemente \((a_{ij})\) mit \(i,j≠0\) und setze diese dann in die Bedingungen für Additivität und Homogenität ein?

Vielen Dank schonmal !

Comments

Zunächst korrigierst Du die Formel für die Spur.

Dann nimmst Du Dir zwei Matrizen A,B und berechnest die Spur von A+B und vergleichst mit den Spuren von A bzw. B

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die folgende Abbildung auf Linearität:$$f\colon\mathbb R^{n\times n}\to\mathbb R\,,\,A=(a_{ik})\mapsto\sum\limits_{i=1}^na_{ii}$$

Eine lineare Abbildung muss additiv und homogen sein.

Additiv: Für \(A,B\in\mathbb R^{n\times n}\) gilt:$$f(A+B)=f((a_{ik}+b_{ik}))=\sum\limits_{i=1}^n(a_{ii}+b_{ii})=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}+\sum\limits_{i=1}^nb_{ii}=f(A)+f(B)\quad\checkmark$$

Homogen: Für \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) und \(c\in\mathbb R\) gilt:$$f(c\cdot A)=f((c\cdot a_{ik}))=\sum\limits_{i=1}^n(c\cdot a_{ii})=c\cdot\sum\limits_{i=1}^na_{ii}=c\cdot f(A)\quad\checkmark$$

Die Spur-Bildung ist also eine lineare Abbildung.

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Vielen lieben Dank!