Einschnürungssatz mit einer sinus reihe, konvergenz beweisen

Question

Aufgabe:

Es sei p ∈ N. Beweisen Sie mit dem Einschnürungssatz folgende Reihe:
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty } \sin(\frac{1}{k^{p} } )      konvergiert <=> p\geq 2$$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher wie ich die Aufgabe lösen kann bzw. wie sieht die Lösung dazu aus?

Comments

Du brauchst eine Abschätzung nach oben und unten für \(\sin(x)\) für \(x \in (0,1)\).

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Ich verstehe. Ich bin mir aber nicht sicher, wie ich das genau machen soll. Ich habe ja kein x gegeben bzw. was mache ich mit dem k und p?

Answer 1

Eigentlich reicht hier das Grenzwertkriterium, das ja bzgl. absolut konvergenter Reihen auf dem Einschnürungssatz beruht, da

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \quad (1)$$

Jetzt kann man absichtlich das Grenzwertkriterium ignorieren und zu Fuß wie folgt vorgehen:

Aus (1) folgt, es gibt ein \(x_0 > 0\), so dass für alle \(0<x<x_0\) die folgende Abschätzung gilt:

$$\frac 12 < \frac{\sin x}{x} < \frac 32 \text{ woraus folgt, dass }$$

$$\frac 12 x< \sin x < \frac 32 x$$

Jetzt viel Spaß beim "Einschnüren".

Comments

Wie macht man von da aus weiter oder reicht das schon?
Ich hab mir den Einschnürungssatz angeschaut, verstehe es aber an dem Beispiel nicht ganz

Danke

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Jetzt ersetzt du x durch \(\frac{1}{k^p}\) für \(k\geq 1\).

So bekommst du die Abschätzung:

$$\frac 12\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p} < \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sin \left(\frac{1}{k^p}\right)< \frac 32\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}$$

Jetzt müsste aber alles klar sein. Denn das Konvergenzverhalten der Reihe \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}\) darf üblicherweise als bekannt vorausgesetzt werden.