Ich weiß, es gibt eine Vielzahl von Beweisen zum Einschnürungssatz, aber ist meiner auch okay?
Behauptung:
Sei \((b_n)\) eine beliebige Folge. Existieren zwei Folgen \((a_n)\) und \((c_n)\), welche gegen den glecihen Grenzwert \(a\) konvergieren, mit \(a_n\leq b_n \leq c_n \) für alle \(n\in\mathbb{N}\), so konvergiert auch \((bn)\) gegen \(a\).
Beweis:
Sei \(\epsilon>0\) beliebig, dann existieren wegen der Konvergen von \((a_n)\) und \((c_n)\) gegen \(a\) zwei \(N_a,N_c\in\mathbb{N}\), s.d für alle \(n\geq N=\max\{ N_a,N_c\}\) gilt: \(a_n,c_n \in U_{\epsilon}(a)\).
insbesonder ist dann der Intervall \([a_n,c_n] \subset U_{\epsilon}(a)\)
Aus \(a_n\leq b_n \leq c_n \) folgt \(b_n\in [a_n,c_n] \Rightarrow b_n\in U_{\epsilon}(a)\).
Somit ist die Konvergenz von \(b_n\) gegen \(a\) bewiesen.
