Einschnürungssatz Grenzwert Folgen

Question

Aufgabe:

Ich soll mithilfe des Einschnürungskriterium zeigen, dass für jedes a>0 gilt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$$

Dabei hat man zunächst die Bernoulli-Ungleichung verwendet.

Kann das irgendjemand lösen. Ich wäre über jeden Beitrag sehr dankbar.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Für \(a\geq 1\) setzt du \(x_n=\sqrt[n]{a}-1\). Mit der Bernoullischen Ungleichung hast du dann \(a=(x_n+1)^n\geq 1+nx_n \Rightarrow x_n\leq \frac{a}{n}\). Somit gilt \(x_n\to 0\) bzw. \(\sqrt[n]{a}\to 1\). Den allgemeinen Fall kannst du dann auf so behandeln:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{a^{-1}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{-1}}}=1$$

Comments

\(x_n=\sqrt[n]{a}-1\)

Ich verstehe nicht, wie man auf diesen Ansatz kommt. Ist das irgendeine Umformung oder rechnet man einfach -1 um die Bernoulli-Ungleichung als Trick anzuwenden?

Und hat sich da nicht ein Fehler hinter der Implikation eingeschlichen: xn<=(a-1)/n

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Und hat sich da nicht ein Fehler hinter der Implikation eingeschlichen: xn<=(a-1)/n

Nein, denn \(x_n\leq \frac{a-1}{n}<\frac{a}{n}\)

Ich verstehe nicht, wie man auf diesen Ansatz kommt.

1) Wir kennen den Grenzwert schon und können damit arbeiten.

2) Wir wollen Bernoullis Ungleichung ausnutzen.

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\(x_n-1=\sqrt[n]{a}-1\)

Aber, wenn man ein -1 hinzufügt, muss man das doch auf beiden Seiten der Gleichung?Ich verstehe nicht, wieso man von hier \(x_n=\sqrt[n]{a}\) auf deinen Ansatz kommt und solange ich das nicht verstehe, kann ich es ja nie selber anwenden ^^