Wie beweise ich, dass -2/x >= ln((x-1)/(x+1)) für alle x aus (1,∞)?

Question

Aufgabe:
Beweise, dass für alle $$x \in (1,\infty)$$ gilt:
$$-\frac{2}{x} \geq ln(\frac{x-1}{x+1})$$

Problem/Ansatz:
Es gibt einen Hinweis in der Aufgabe, dass man erst die Gleichheit für x -> ∞ zeigen soll und dann mit Ableitungen argumentieren kann.
Leider komme ich einfach nicht auf die Lösung.
Ich wäre sehr dankbar für Tipps! Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Definiere \(\displaystyle h(x):=\frac2x+\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\).
Es ist \(\displaystyle h^\prime(x)=\frac2{x^2(x^2-1)}>0\)  für alle \(x>1\), also \(h\) streng monoton steigend.
Außerdem gilt \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x)=0\).
Daraus folgt \(h(x)\le0\).

Comments

Super, vielen Dank für deine Hilfe, Arsinoë! :)