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Gegeben:

n Paare von Punkten (xi, f(xi)) ∈ ℝ2    , i = 1, ...., n    wobei x1 < x2 < ... < xfür eine Funktion f : ℝ → ℝ

Es soll nun eine möglichst einfache Funktion g approximiert werden, für die g(xi) = f(xi)  für manche, aber nicht unbedingt alle xi gilt und die zwischen diesen xi linear ist.


Es soll also für geg. Parameter α, β > 0 den Ausdruck:

                          α * Anzahl linearer Segmente von g + β * ∑ von i = 2 bis (n-1) von |f(xi) - g(xi)|2

über alle Funktionen g minimieren, mit folgenden Eigenschaften:

g(x1) = f(x2), g(xn) = f(xn)

g ist stückweise linear und Ecken von g sitzen nur auf Punkten (xi, f(xi))

Aufgabe:

a): Es soll nun gezeigt werden, dass sich aus diesem Problem auch ein graphentheoretisches Problem formulieren lässt und es soll beschrieben werden, wie es sich lösen lässt

b): Das Problem soll für α = β = 1
und (x1, f(x1)) = (0, 0)    (x2, f(x2)) = (5, 5)   (x3, f(x3)) = (10, 2)    (x4, f(x4)) = (15, 0)

gelöst werden.

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