Aufgabe 13:
Gegeben sind die Punkte \( A=(4,1,1), B=(2,4,5) \) und \( C=(-1,-2,3) \). Berechnen Sie den vierten Eckpunkt \( D \) des Parallelogrammes \( A B C D \) sowie dessen Flächeninhalt.
Aufgabe 14:
\( \operatorname{Im} \mathbb{R}^{4} \) seien \( \vec{v}_{1}=\vec{e}_{1}-2 \vec{e}_{2}+\vec{e}_{4} \) und \( \vec{v}_{2}=2 \vec{e}_{3}+5 \vec{e}_{4} \) und \( \vec{v}_{3}=-2 \vec{e}_{1}+4 \vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}+3 \vec{e}_{4} \)
1. Überprüfen Sie, ob die gegebenen Vektoren im \( \mathbb{R}^{4} \) linear unabhängig sind.
2. Bestimmen Sie die lineare Hülle \( \operatorname{Span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \).
Aufgabe 15:
Zeigen Sie: Ist \( \vec{b} \in \dot{R}^{n} \) eine Linearkombination von \( \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{r} \in \mathbb{R}^{n} \), so ist
\( \operatorname{Span}\left\{\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{r}\right\}=\operatorname{Span}\left\{\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{r}, \vec{b}\right\} \)
