Zeigen Sie unter Benutzung des Skalarproduktes: Sind die Diagonalen eines Parallelogrammes gleich lang, so ist das …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie unter Benutzung des Skalarproduktes: Sind die Diagonalen eines Parallelogrammes gleich lang, so ist das Parallelogramm ein Rechteck.

Answer 1

Ohne Beschränkug kann die Lösung auf R² reduziert werden. Die Koordinaten eines Parallelogramms lauten

A=(0,0), B=(Bx,0), D=(Dx,Dy), C=(Bx+Dx,Dy)

Länge der Diagonalen d^2(AC) = (Bx+Dx)^2 + Dy^2
Länge der Diagonalen d^2(BD) = (Bx-Dx)^2 + (-Dy)^2

Wenn die Diagonalen gleich lang sind, gilt

(I) d^2(AC) = d^2(BD)

(I) (Bx+Dx)^2 + Dy^2 = (Bx-Dx)^2 + (-Dy)^2

(I) Bx^2 + 2*Bx*Dx + Dx^2 + Dy^2 = Bx^2 - 2*Bx*Dx + Dx^2 + Dy^2

(I) 2*Bx*Dx = - 2*Bx*Dx

Daraus folgt Bx = 0 oder Dx = 0

Skalarprodukt:

(AB)*(AD) = (Bx,0)*(Dx,Dy) = Bx*Dx
(CD)*(CB) = (-Bx,0)*(-Dx,-Dy) = Bx*Dx

Wegen Bx = 0 oder Dx = 0 steht der Vektor AD senkrecht auf AB, und der Vektor CD senkrecht auf CB. Also muss ABCD ein Rechteck sein.

Answer 2

Hallo,

meine neue Lösung:

a,b Vektoren der Parallellogrammseiten.

Gleichlange Diagonalen:

(a+b)²=(a-b)²

Ausmultiplizieren:

a²+2ab+b² = a²-2ab+b²

2ab = -2ab

4ab = 0

ab=0

--> Die Seitenvektoren verlaufen orthogonal.

Das Parallelogramm ist ein Rechteck.

:-)

Comments

Genau die Gleichung hatte ich schon, aber wie hilft mir das weiter?

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Ich habe meine Antwort geändert.

:-)