Gewinnmaximum / Simplex-Verfahren

Question

Aufgabenstellung:

Das Produktionsprogramm eines Betriebes umfasst die Herstellung der beiden Erzeugnisse P1 und P2. Der Gewinn je Erzeugniseinheit betrage bei P1 2 und bei P2 6 Geldeinheiten. Zur Herstellung der Produkte werden zwei Maschinengruppen M1 und M2 eingesetzt. Der vorhandene Fonds an Gesamt- maschinenzeit betrage bei M1 40 Zeiteinheiten und bei M2 26 Zeiteinheiten. Die Tabelle gibt einen Überblick über die erforderlichen Maschinenzeiten zur Herstellung jeweils einer Erzeugniseinheit: 

        P1      P2

M1     2      3 

M2    2      3 

Weiter bestehen die Bedingungen, dass die Erzeugnisse P1 und P2 zusammen höchstens in der Menge von 15 Erzeugniseinheiten hergestellt werden können, Produkt P1 andererseits aber auch mindestens in der Menge von 6 Erzeugniseinheiten zu produzieren ist.

1. Bestimmen Sie graphisch diejenigen Erzeugnismengen, die dem Unternehmen einen maximalen Gesamtgewinn sichern!

2. Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm mithilfe des Simplex-Verfahrens! Lässt sich das ermittelte Produktionsprogramm realisieren?

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Mein Lösungs"versuch":

(1) Definition:

x: Anzahl Einheiten P1

y: Anzahl Einheiten P2

(2) Restriktionen aufstellen:

2x + 3y <= 40

1x + 2y <= 26

x+y <= 15

x<=6

G(x,y) = 2x + 6y -> max

Bin ich hier bereits auf dem Holzweg oder befindet sich das Gewinnmaximum an der "diagonalen" Restriktionslinie?

!

Answer 1

Hi,
bei den Maschinenzeiten für M2 ist Dir ein Fehler unterlaufen, da muss es heissen
M 1 3
in den nachfolgenden Gleichungen ist das auch so berücksichtigt worden.
Die Einschränkung \( y \le 9 \) sehe ich nicht in der Aufgabenstellung.
Die Gewinnfunktion sieht ja folgendermaßen aus
$$  y = -\frac{1}{3}x+\frac{z}{6} $$
und hier muss der Schnittpunkt mit der Geraden
$$ y =-x+15  $$ für \( x=6 \) gesucht werden.
D.h.
$$ -\frac{1}{3}x+\frac{z}{6} = -x+15 \text{ für } x=6 $$
Daraus folgt \( z = 66 \)
Aus \( x = 6 \)  folgt \( y = 9 \)