F genau dann ein Polynom wenn F^n = 0

Question

Abend

Es sei

eine rationale Funktion. Zeige, dass  genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit  gibt.

Comments

bitte um Hilfe :(

Answer 1

wenn F ein Polynom ist, dann hat es einen Grad n und damit ist die
(n+1)-te Ableitung von F gleich NUll.
Ist umgekehrt die n-te Ableitung einer rationalen Funktion gleich 0,
dann ist die (n-1)te Ableitung eine Konstante k1 und die (n-2)te Abl
von der Form k1*x+k2 und die (n-3)te Abl. k1x^2 +k2x + k3 etc.
Also ist irgendwann die 0-te Ableitung erreicht und alle sind Polynome, also
auch F selbst.