"Ein Polynom ist genau dann separabel, wenn es teilerfremd zu seiner Ableitung ist.

Question

Aufgabe:

Hier meine Frage:

Ich hab hier eine wahr/falsch Aussage:

"Ein Polynom ist genau dann separabel, wenn es teilerfremd zu seiner Ableitung ist."

Meine Antwort ist ja, denn ist ein Polynom separabel, so ist die Ableitung per Defintion ungleich null und aus der Definitoin der Ableitung folgt dass es teilerfremd ist.

Andersrum ist ein Polynom teilerfremd zu seiner Ableitung , so folgt insbesondere, dass die P und P' ungleich 0 sind und nach einem Satz folgt dann, dass P separabel ist.

Stimmt das so, bzw. hat jemand noch eine bessere Erklärung?

Comments

x^2+1 und 2x?

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Was genau ist jetzt di Aussage? Die beiden sind doch teilerfremd oder?

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Wie ist bei euch die Definition eines separablen Polynoms?

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Hallo

ist x^2+1 für dich separabel?

lul

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Ja zum Beispiel in Q[X], da Q Charakteristik 0 hat und somit jedes Polynom separabel ist.

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Du meinst sicher "jedes irreduzible Polynom separabel ist" ;-)

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Definition ist, Ein Polynom heißt separabel über K[X], falls es keine doppelten Nullstellen über dem algebraischen Abschluss hat.

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Genau, also nicht jedes Polynom. Das meinte ich.

Answer 1

Die Antwort ist in der Tat "Ja". Deine Begründung habe ich jedoch

nicht verstanden. Musst du nicht mit einem Zerfällungskörper

argumentieren oder mit dem algebraischen Abschluss des Koeffizienten-

Körpers, über dem das Polynom ja durchaus irreduzibel sein kann

wie in luls Beispiel über Q.

Comments

Wir haben halt einen Satz im Skript, der heißt, P ist genau dann separabel, wenn P'≠0 als Element von K[X], den habe ich versucht hier zu nutzen. Wobei P irreduzibel.

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Aber wie argumentiert man, wenn P reduzibel ist?