Exponentialfunktion y=b*a^x (Punkte A (-1|1/2), B (1|2) einsetzen).

Question

ich bin an dieser Aufgabe hängen geblieben:

"Bestimme die Gleichung der Exponentialfunktion mit y=b*a^x, deren Schaubild durch die Punkte A und B geht. Mache die Probe.

A (-1/1/2), B (1/2)"

Mein Ansatz:

1/2 = b*a^{-1}
2 = b*a^1

2,5 = 2b  | :2

1,25 = B

Das kann aber irgendwie nicht stimmen.  und  

Answer 1

Hi Afrob,

wie kommst Du denn auf die Zeile: 2,5 = 2b  | :2 ?

Richtig ist Dein Ansatz:

1/2 = b*a^-1
2 = b*a¹

Den jetzt nur noch umsetzen. Beispieilsweise erste Gleichung nach b auflösen:

1/2 = b*a^-1   |*a
a/2=b

Damit in die zweite Gleichung:

2 = a/2*a  |*2
4=a²          |Wurzel ziehen. Auf doppelte Lösung achten!
a=±2

Damit dann in Gleichung zwei -> b=±1

 

Die Lösung dieses Problems lautet also entweder a=2 und b=1, oder a=-2 und b=-1.
Sprich y₁=1*2^x  und y₂=-1*(-2)^x

Probe für erstere Lösung:

y₁=2^x soll die Punkte A (-1|1/2) und B (1/2) beinhalten:

y=2^-1=1/2  -> passt
y=2¹=2     -> passt ebenfalls

 

Klar? ;)
 

 

Comments

Ja, fast. :) Danke erstmal für deine ausführliche Antwort.

Ich versteht allerdings noch nicht, wie du von 1/2 = b*a^-1 auf a/2 = b kommst, wenn du mit "a" multiplizierst.

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Führe Dir vor Augen, dass gilt a^-1=1/a. Dann sollte Dir der Schritt mit der Multiplikation klar werden, oder?
Sonst frag gerne nochmals nach ;).

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 Dann hab ich soweit alles verstanden, außer vielleicht noch eine Sache; woher weiß ich, dass ich auf zwei Lösungen achten soll? Gruß!

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Wann immer Du die Wurzel ziehst, musst Du berücksichtigen, dass es zwei Lösungen geben kann!
Stell Dir die Frage welche Zahlen folgende Gleichung erfüllen können:

x²=4

Man kann direkt die Antwort sehen. Offensichtlich ist x₁=2 eine Lösung, aber auch x₂=-2 -> denn (-2)²=4.

Das kommt vom Wurzel ziehen:

x²=4   |Wurzel ziehen
x=±2

 

Ok? ;)

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Alles klar, das hab ich nun verstanden, danke. :)

 

Verzeih mir, aber an einer Stelle bleib ich dann doch noch hängen. Und zwar, wenn ich 2=a/2*a mit 2 multiplitziere, erhalte ich doch 4 = a*2a, du hast dort aber a² herausbekommen. Gruß!

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Wenn Du eine Gleichung mit 2 multiplizierst, dann bitte beide Seiten! D.h. Du setzt sowohl links wie auch rechts den Faktor 2 ran. Rechts haben wir dann unter anderem 2/2=1. Es bleibt also a*a=a² übrig. Klar?

 

Bitte siehe auch noch den Nachtrag von Lu bzgl unserer negativen Lösung. Das hatte ich übersehen.

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Okay, dann hast du aber nur a/2 mit 2 auf der rechten Seite multipliziert, weil sonst in der nächsten Zeilen noch 2*a wären, oder?

 

Ja, danke noch an Lu, für diesen Hinweis. Gruß!

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Wir haben:

2 = a/2*a

Nun wollen wir mit 2 multiplizieren. Das schreibt mal gerne mit dem Trennstrich |. Dieser sagt soviel "Mache mit der Gleichung genau das, was folgt". Die Gleichung selbst wird dabei komplett in Klammern gesetzt:

2 = a/2*a                     |*2
(2)*2=(a/2*a)*2
4=a/2*a*2
4=a²*2/2
4=a²

 

Nun klar? ;)

Answer 2

1.     1/2 = b*a^-1
2.     2 = b*a¹
-------------------- +
2,5 = 2b  | :2
Additionsverfahren ist so nicht möglich. Wegen der Potenzgesetze lauten die beiden Gleichungen

1.       1/2 = b/a
2.      2 = ab

Auflösung: Einsetzverfahren:

1. mal a → a/2 = b

1. in 2. einsetzen       2 = a^2 / 2              |*2

               4 = a^2       |√

a = ±2 in 2. einsetzen        -----> b = ±1

y = 2^x         Ist die einzige Lösung, da eine Funktion mit x Element R gesucht ist.

y = - (-2)^x           wäre nur für ganzzahlige x definiert.

Kontrolle Schaubilder

 

 

 

Comments

Danke, dem negativen Fall hatte ich wohl nicht die nötige Beachtung geschenkt ;/.

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@Unknown: Wie erwähnt, ist vermutlich nur deine Lösung gemeint, da Exponentialfunktionen mit reellem Urbildbereich keine neg. Basen (hier das a) haben dürfen. Nur hatte der Fragesteller das nicht so explizit angegeben. Deshalb mein Exkurs oben.